B 2016D V Diplomovápráce MASARYKOVAUNIVERZITA

P ŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Ú

Diplomová práce

B ^RNO 2016 D ^OMINIK V ^ELAN

P ŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Ú

Moduly nad Dedekindovými okruhy

Diplomová práce

Dominik Velan

Vedoucí práce: prof. RNDr. Radan Kučera, DSc. Brno 2016

Autor: Bc. et Bc. Dominik Velan

Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav matematiky a statistiky

Název práce: Moduly nad Dedekindovými okruhy Studijní program: Matematika

Studijní obor: Algebra a diskrétní matematika Vedoucí práce: prof. RNDr. Radan Kučera, DSc.

Akademický rok: 2015/2016 Počet stran: vii+55

Klíčová slova: modul, torzní modul, anihilátor, projektivní modul, konečně gene- rovaný modul, Dedekindův okruh, noetherovský okruh, lomený ideál, diskrétní valuace, okruh s diskrétní valuací, okruh hlavních ideálů

Author: Bc. et Bc. Dominik Velan

Faculty of Science, Masaryk University Department of Mathematics and Statistics Title of Thesis: Modules over Dedekind Domains

Degree Programme: Mathematics

Field of Study: Algebra and Discrete Mathematics Supervisor: prof. RNDr. Radan Kučera, DSc.

Academic Year: 2015/2016

Number of Pages: vii+55

Keywords: module, torsion module, annihilator, projective module, fini- tely generated module, Dedekind Domain, Noetherian Domain, fractional ideal, discrete valuation, discrete valuation ring, prin- cipal ideal domain

Tato práce se věnuje konečně generovaným modulům nad Dedekindovými okruhy.

Je rozdělena do čtyř kapitol. V první kapitole jsou uvedeny základní pojmy z teorie modulů.

Druhá kapitola se zabývá Dedekindovými okruhy a jejich vlastnostmi. Třetí kapitola se věnuje konečně generovaným torzním modulům nad okruhy s diskrétní valuací a nad Dedekindovými okruhy. V poslední kapitole je zformulována a dokázána věta o struktuře konečně generovaných modulů nad Dedekindovými okruhy a některé její důsledky.

Abstract

This thesis contains theory of finitely generated modules over Dedekind Domains. It is divided into four chapters. The first chapter introduces modules and projective modules. The second chapter contains definition and basic properties of Dedekind Domains. The third chapter deals with finitely generated torsion modules over discrete valuation rings and Dedekind Domains. The last chapter contains the fundamental theorem of finitely generated modules over Dedekind Domains and its corollaries.

Na tomto místě bych rád poděkoval prof. RNDr. Radanu Kučerovi, DSc. za vstřícnost, cenné rady a nekonečnou trpělivost při vedení této diplomové práce.

Prohlášení

Prohlašuji, že jsem svoji diplomovou práci vypracoval samostatně s využitím informač- ních zdrojů, které jsou v práci citovány.

Brno 15. května 2016 . . . . Dominik Velan

Úvod . . . 1

Přehled použitého značení . . . 2

Kapitola 1. Moduly . . . 3

1.1 Základní definice teorie modulů . . . 3

1.2 Projektivní moduly. . . 13

Kapitola 2. Noetherovské a Dedekindovy okruhy . . . 18

2.1 Noetherovské okruhy a moduly . . . 18

2.2 Lomené ideály a Dedekindovy okruhy. . . 21

2.3 Dělitelnost ideálů, kongruence, čínská zbytková věta . . . 28

Kapitola 3. Konečně generované torzní moduly nad Dedekindovými okruhy . . . 33

3.1 Lokalizace . . . 35

3.2 Konečně generované torzní moduly nad okruhy s diskrétní valuací. . . 43

3.3 Konečně generované torzní moduly nad Dedekindovými okruhy . . . 46

Kapitola 4. Konečně generované moduly nad Dedekindovými okruhy . . . 48

Seznam použité literatury . . . 55

– vii –

Tato diplomová práce se zabývá strukturou konečně generovaných modulů nad De- dekindovými okruhy. Jejím cílem je vyložit přehledným způsobem teorii Dedekindových okruhů a konečně generovaných modulů nad nimi tak, abychom kladli co nejmenší poža- davky na počáteční znalosti čtenáře. Práce proto může sloužit jako učební text pro studenty, kteří absolvovali základní kurzy algebry a lineární algebry a chtějí své znalosti rozšířit o tuto problematiku. V textu budeme dále předpokládat, že čtenář má znalost algebry v rozsahu [6]

a lineární algebry v rozsahu předmětu M1110 Lineární algebra a geometrie I.

Práce je rozdělena do čtyř kapitol. V první části první kapitoly se zabýváme základními pojmy z teorie modulů. Definujeme volný modul, torzní prvky a anihilátor. Ve druhé části této kapitoly studujeme projektivní moduly.

Ve druhé kapitole se věnujeme především teorii Dedekindových okruhů. První část této kapitoly se zabývá noetherovskými okruhy. Ve druhé části definujeme Dedekindovy okruhy a studujeme jejich vlastnosti. Ve třetí části zavádíme pojem dělitelnosti ideálů a formulujeme čínskou zbytkovou větu.

Třetí kapitola se zabývá konečně generovanými torzními moduly nad Dedekindovými okruhy. V první části zavedeme pojmy lokalizace okruhu a lokalizace modulu. Druhá část se zabývá konečně generovanými torzními moduly nad okruhy s diskrétní valuací. Ve třetí části ukážeme, jak nám pojem lokalizace umožní studovat konečně generované torzní moduly nad Dedekindovými okruhy pomocí modulů nad okruhy s diskrétní valuací.

V závěrečné kapitole se věnujeme větě o struktuře konečně generovaných modulů nad Dedekindovými okruhy. V závěru této kapitoly pak uvádíme dva její důsledky. Aplikacemi těchto tvrzení se v této práci nezabýváme, některé je možné nalézt například v [1,4].

– 1 –

Pro snažší orientaci v textu zde čtenáři předkládáme přehled základního značení, které se v celé práci vyskytuje.

N množina všech přirozených čísel

N0 množina všech nezáporných celých čísel Z množina všech celých čísel

C množina všech komplexních čísel

Sn množina permutací množiny{1,2, . . . ,n}

⊂ vlastní podmnožina

⊆ podmnožina

\ množinový rozdíl

imϕ obraz zobrazeníϕ

kerϕ jádro zobrazeníϕ

stf stupeň polynomu f

det(A) determinant maticeA

(I,J) největší společný dělitel ideálůI,J [I,J] nejmenší společný násobek ideálůI,J Ann(M) anihilátor moduluM

Tor(M) množina torzních prvků moduluM

Ra₁+· · ·+Ra_n podmodul moduluM generovaný prvkya₁, . . . ,a_n∈M (a₁, . . . ,a_n) ideál okruhuRgenerovaný prvkya₁, . . . ,a_n∈R, někdy též

Ra₁+· · ·+Ra_nneboa₁R+· · ·+a_nR

– 2 –

Moduly

V této kapitole se budeme zabývat základními pojmy z teorie modulů.

1.1 Základní definice teorie modulů

V této části se zabýváme základními definicemi a vlastnostmi modulů, jak jsou uve- deny například v [1]. Definujeme pojem homomorfismu modulů. Představujeme základní konstrukce nových modulů z modulů původních, jako jsou faktormoduly a přímé součty modulů. Zavádíme pojmy torze a anihilátor modulu. Protože důkazy celé řady tvrzení kopí- rují myšlenky a postupy důkazů analogických tvrzení z teorie grup, neuvádíme v této části důkazy všech uvedených tvrzení. Pro ilustraci však korespondenci mezi těmito důkazy v některých případech ukážeme.

Definice. Buď (R,,·) okruh. Levým R-modulem rozumíme komutativní grupu (M,+) spolu s akcíRnaM, tj. zobrazenímR×M→M (kde obraz(r,m)značímerm), splňující pro všechnar,s∈Ram,n∈Mnásledující podmínky:

1. r(m+n) =rm+rn, 2. (rs)m=rm+sm, 3. (r·s)m=r(sm), 4. 1_Rm=m.

AkciRnaMnazývámenásobeníprvky z okruhuR. Využíváme navíc konvenci, že násobení má přednost před sčítáním.

Protože je z kontextu obvykle zřejmé, zda sčítáme dva prvky R-modulu M nebo okruhu R, budeme pro zjednodušení obě tyto operace značit +. Neutrální prvek grupy (M,+)budeme značit 0. Prvek inverzní k prvkum∈Mbudeme značit −m. Pro přehled- nost budemen+ (−m)značit pouzen−m.

Přívlastek „levý“ v předchozí definici značí, že prvky okruhu R píšeme zleva. Ana- logicky bychom mohli definovat pravýR-modul. Nebude-li uvedeno jinak, budeme dále pojmemR-modulrozumětlevý R-modul. Bude-li navíc okruhRzřejmý z kontextu, budeme někdy hovořit jen o modulu, aniž bychom použili další přívlastky.

– 3 –

Nulový (nebo také triviální) modul{0}budeme často pro jednoduchost značit jen 0.

Díky tomu, že každý modul je komutativní grupa, která se váže na nějaký okruh R, můžeme pro něj odvodit řadu vlastností, které platí v okruzích či grupách.

Tvrzení 1.1. Buď R okruh a M levý R-modul. Pak pro každé m∈M a r∈R platí:

1. r0=0, 2. 0m=0, 3. (−1)m=−m.

Důkaz. Buďtem∈M,r∈Rlibovolné, pak 1. r0=r(0+0) =r0+r0, tedyr0=0, 2. 0m= (0+0)m=0m+0m, tedy 0m=0, 3. (−1)m+1m= (−1+1)m=0.

Definice. Nechť R je okruh a M je levý R modul. Podmodulem modulu M rozumíme podgrupu N grupy M, která je uzavřená na násobení prvky z okruhu R, tj. pro všechna r∈Ran∈Njern∈N.

Díky tvrzení1.1dostáváme, že neprázdná množinaNje podmodulem moduluMprávě tehdy, když je uzavřená na sčítání a násobení prvky z okruhuR. Existenci inverzního prvku vN vzhledem ke sčítání totiž dostaneme díky uzavřenosti na násobení−1.

Příklad.

1. Je-li okruh R těleso, pak definice R-modulu přesně odpovídá definici vektorového prostoru. Podmoduly jsou v tomto případě podprostory vektorového prostoru. Pojem modulu je tedy zobecněním pojmu vektorového prostoru.

2. Uvažme případ R=Z. Nechť (A,+)je libovolná komutativní grupa. Na této grupě můžeme definovat strukturuZ-modulu následujícím způsobem. Pro libovolné prvky a∈A a n∈Zdefinujme

na=







a+a+· · ·+a (n-krát) n>0,

0 n=0,

−a−a− · · · −a (−n-krát) n<0.

Z definice modulu navíc vyplývá, že toto je jediný způsob, jak lze na A definovat strukturuZ-modulu. Odtud dostáváme, že Z-moduly jsou právě komutativní grupy.

Podmoduly jsou pak jejich podgrupy.

3. Buď R libovolný okruh. Pak R můžeme chápat jako levý R-modul, kde násobení prvkem z okruhu R je standardní násobení v R. V tomto případě jsou podmoduly R právě levé ideály R.

Definice. NechťRje okruh aM,NlevéR-moduly.

1. Zobrazení f: M→N se nazýváhomomorfismus R-modulů, jestliže (a) ∀x,y∈Mplatí f(x+y) = f(x) +f(y),

(b) ∀x∈M,∀r∈Rplatí f(rx) =r f(x).

2. HomomorfismusR-modulů se nazýváizomorfismus R-modulů, jestliže je injektivní i surjektivní. Řekneme, že moduly M, N jsou izomorfní, píšeme M∼=N, jestliže existuje izomorfismusR-modulů f: M→N.

3. Nechť f: M→Nje homomorfismusR-modulů.Jádrem homomorfismu f rozumíme množinu kerf ={m∈M| f(m) =0}.

4. Nechť f: M→N je homomorfismus R-modulů. Obrazem homomorfismu f rozu- míme množinu imf ={n∈N| ∃m∈M: f(m) =n}. Obraz homomorfismu budeme někdy značit též f(M).

Příklad. I když se na okruh budeme dívat jako na modul nad sebou samým, musíme rozlišovat, zda hovoříme o homomorfismu okruhů či modulů.

1. Buď R=Z[√

2] ={a+b√

2|a,b∈Z}. Uvažujme homomorfismus okruhů f: R→R daný předpisem:

f

a+b

√ 2

=a−b

√ 2.

Pak f není homomorfismus modulů, vždyť

−√

2= f√ 2

= f√ 2·1

6=√

2·f(1) =√ 2.

2. Buď R=Z. Uvažme homomorfismus modulů f: Z→Zdaný předpisem f(a) =2a.

Jistě f není homomorfismus okruhů.

3. Jediné zobrazení f: R→R, které je zároveň homomorfismem okruhů i modulů, je identita na R, vždyť

f(r) = f(r·1) =r·f(1) =r.

Tvrzení 1.2. Buď R okruh, M,N levé R-moduly a f: M→N homomorfismus R-modulů.

Pak

1. kerf je podmodul modulu M, 2. imf je podmodul modulu N.

Důkaz. Protože homomorfismus modulů f: M→Nje zároveň homomorfismem komuta- tivních grup, je kerf podgrupouMa imf podgrupouN. Stačí ukázat, že obě tyto podgrupy jsou uzavřené na násobení prvkem zR.

1. Buďte r∈R a m∈ kerf libovolné prvky, pak f(rm) =r f(m) =r0 =0, odtud rm∈kerf.

2. Buďte r∈Ra n∈imf libovolné prvky, pak existujem∈M takový, že f(m) =n.

Odtud dostáváme, žern=r f(m) = f(rm), tedyrn∈imf.

Tvrzení 1.3. Buď R okruh a M₁, M₂, M₃levé R-moduly. Nechť f: M₁→M₂a g: M₂→M₃ jsou homomorfismy modulů. Pak zobrazení g◦ f: M₁→M₃je homomorfismus modulů.

Důkaz. Protože tvrzení platí pro homomorfismy grup, stačí ověřit, že bude splněna i druhá podmínka z definice homomorfismu modulů. Buďter∈R,m∈M₁libovolné. Pak

r(g◦f) (m) =rg(f(m)) =g(r f(m)) =g(f(rm)) = (g◦f) (rm).

Pokud bude z kontextu zřejmé, že hovoříme o skládání zobrazení, budeme často místo f◦gpsát jen f g.

Podobně jako v teorii grup můžeme uvažovat pojem faktorgrupy, lze tuto konstrukci rozšířit i na moduly. Díky tomu, že každý modulMje komutativní grupa, je každý jeho pod- modulN zároveň normální podgrupou této grupy. Dává tedy smysl uvažovat faktorgrupu M/N. Ukážeme, že na této faktorgrupě můžeme opět zavést strukturu modulu, přitom kanonická projekcep: M→M/N bude homomorfismus modulů, kde kerp=N.

Věta 1.4. Buď R okruh, M levý R-modul a N jeho podmodul. Na faktorgrupě M/N lze zavést strukturu R-modulu tak, že definujeme násobení prvky z R předpisem

r(x+N) =rx+N ∀r∈R, x+N∈M/N.

Kanonická projekce p: M→M/N definovaná vztahem p(x) =x+N je homomorfismem R-modulů s jádrem N.

Důkaz. Nejprve potřebujeme ukázat, že násobení prvky zRje dobře definované na každé levé tříděx+N. Nechťx+N =y+N, tj.x−y∈N. Protože N je podmodul, je uzavřený na násobení prvky zR, tedyr(x−y) =rx−ry∈N. Dostáváme, žerx+N=ry+N.

Ukažme, že takto definované násobení dává na faktorgrupěM/N strukturuR-modulu.

Buďtex,y∈M,r,s∈Rlibovolné, pak

1. r((x+N) + (y+N)) =r((x+y) +N) = (r(x+y)) +N=

= (rx+ry) +N= ((rx) +N) + ((ry) +N), 2. (r+s) (x+N) = ((r+s)x) +N= (rx+sx) +N=

= ((rx) +N) + ((sx) +N) =r(x+N) +s(x+N), 3. (rs) (x+N) = (rsx) +N=r((sx) +N) =r(s(x+N)),

4. 1(x+N) =x+N.

Protože kanonická projekce p: M→M/N je zároveň homomorfismem grup, je její jádro N. Zbývá proto ověřit, že pje dokonce homomorfismem R-modulů, tj. je splněna druhá podmínka v definici homomorfismu modulů. Buďter∈Ram∈Mlibovolné, pak

p(rm) =rm+N=r(m+N) =r p(m).

Definice. ModulM/Nz předchozí věty se nazýváfaktorový modul. Homomorfismuspse nazývákanonická projekce na faktoromodul.

Definice. BuďRokruh,MlevýR-modul,N₁,N₂, . . . ,N_njeho podmoduly.

1. Součtem(téžvnitřním součtem) podmodulůN₁,N₂. . . ,N_nrozumíme množinu N₁+N₂+· · ·+N_n={a₁+a₂+· · ·+a_n|a_i∈N_ipro každéi=1,2, . . . ,n}.

2. NechťA⊆Mje libovolná podmnožina. ProA6= /0 definujme

RA={r₁a₁+r₂a₂+· · ·+r_ma_m|r_i∈R, a_i∈A, m∈N},

proA= /0 klademeRA={0}. Je-liA={a₁, . . . ,a_n}konečná množina, píšeme RA=Ra₁+Ra₂+· · ·+Ra_n.

Množina RAje podmodulem moduluM a nazývá se podmodul generovaný množi- nou A. Množinu A nazýváme množinou generátorů podmodulu RA. Snadno lze rozmyslet, žeRAje nejmenší podmodul obsahující množinuA.

3. PodmodulNse nazývákonečně generovaný, jestliže existuje konečná množinaA⊆M taková, žeN=RA.

4. PodmodulN se nazývácyklický, jestliže existujea∈M takové, žeN=Ra.

5. Je-li podmodul N konečně generovaný, pak existuje d ∈N0 takové, žeN je gene- rovaný d prvky, ale už není generovaný žádnými d−1 prvky. Číslo d se nazývá minimální počet generátorů.

Definice. Buď R okruh, I neprázdná indexová množina a pro každé j ∈I buď M_j levý R-modul.

1. SoučinemR-modulů M_j,+_j

pro j∈I rozumíme modul

∏

M_j,

s operacemi definovanými po složkách.

∏_j∈IM_jje množina všech výběrových funkcí f:I→^S_j∈IM_j, f(j)∈M_j.

Operace sčítání a násobení prvky okruhu zRzavádíme následujícím způsobem. Pro f,g∈∏j∈IM_j, kde f(j) =a_jag(j) =b_jpro každé j∈I, tedy definujeme

f+g: I→^[

j∈I

M_j, f+g: j7→a_j+b_j a

r f: I→^[

j∈I

M_j, r f: j7→r·a_j.

V případě součinu konečného počtu modulů, tj. I={1,2, . . . ,n}pro nějakén∈N, budeme standardním způsobem ztotožňovat f = (a₁, . . . ,a_n).

2. Přímým součtemR-modulůM_jpro j∈I rozumíme modul M

j∈I

M_j⊆

∏

j∈I

M_j

všech prvků majících jen konečně mnoho nenulových složek.

Dostáváme M

j∈I

M_j={f: I→^[

j∈I

M_j| f(j)∈M_ja f(j)6=0 jen pro konečně mnoho j∈I}.

Je-li tedyI konečná množina, pak∏_j∈IM_j=^L_j∈IM_j.

3. Homomorfismus modulůi_k: M_k→^L_j∈IM_j (respektiveM_k→∏_j∈IM_j), který po- sílá α ∈M_k na prvek mající na k-té složce α a ostatní složky nulové, nazýváme kanonickým vnořením(téžkanonickou injekcí).

4. Homomorfismus modulů p_k: ^L_j∈IM_j: →M_k (respektive ∏_j∈IM_j →M_k), který posílá každý prvek na jehok-tou složku, nazývámekanonickou projekcí.

Definice. Nechť R je okruh,I neprázdná indexová množina a M, M_i jsouR-moduly pro každéi∈I. Nechť jsou dále dány homomorfismyR-modulů

ϕ_i: M_i→M.

Přímým součtem homomorfismůϕ_irozumíme homomorfismus M

i∈I

ϕi: ^M

i∈I

M_i→M definovaný pro f ∈^L_i∈IM_ipředpisem

M

i∈I

ϕ_i(f) =

∑

i∈I

ϕ_i(f(i)),

což je korektní zápis, neboť v sumě na pravé straně je jen konečně mnoho nenulových sčítanců.

Poznámka. Nechť R je okruh a I neprázdná indexová množina a pro každé j∈I je M_j levý R-modul. Uvažme modul ^L_j∈IM_j a příslušné kanonické projekce p_j a kanonická vnořeníi_j. Z definice kanonické projekce a kanonického vnoření zřejmě platí

• p_j◦i_j=id_Mj,

• ^L_j∈Ii_j◦p_j=id^L_j∈IMj.

Tvrzení 1.5. Nechť N₁, N₂, . . . N_kjsou podmoduly R-modulu M. Následující podmínky jsou ekvivalentní:

1. Zobrazeníϕ: N₁×N₂× · · · ×N_k→N₁+N₂+· · ·+N_k definované předpisem ϕ(a₁,a₂, . . . ,a_k) =a₁+a₂+· · ·+a_k

je izomorfismus R-modulů, tj. N₁+N₂+· · ·+N_k∼=N₁×N₂× · · · ×N_k. 2. N_j∩ N₁+· · ·+N_j−1+N_j+1+· · ·+N_k

=0pro každé j∈ {1,2, . . . ,k}.

3. Každý prvek x∈N₁+N₂+· · ·+N_klze napsat jednoznačně ve tvaru a₁+a₂+· · ·+a_n, kde a_i∈N_i.

Důkaz. 1⇒2: Předpokládejme sporem, žea_j∈N_j∩ N₁+· · ·+N_j−1+N_j+1+· · ·+N_k pro nějaké j∈ {1,2, . . . ,k}, kdea_j6=0, pak

a_j=a₁+· · ·+a_j−1+a_j+1+· · ·+a_k pro nějakáa_i∈N_i. Pak ale a₁, . . . ,a_j−1,−a_j,a_j+1, . . . ,a_k

je nenulový prvek kerϕ, což je spor.

2⇒3: Nechťa_i,b_i∈N_ijsou taková, že

a₁+a₂+· · ·+a_k=b₁+b₂+· · ·+b_k. Odtud dostáváme pro libovolné j∈ {1,2, . . . ,k}

b_j−a_j= (a₁−b₁) +· · ·+ (a_j−1−b_j−1) + (a_j+1−b_j+1) +· · ·+ (a_k−b_k).

Levá strana je prvkemN_j, pravá strana je prvkemN₁+· · ·+N_j−1+N_j+1+· · ·+N_k. Nutně tedya_j=b_ja vyjádření je jednoznačné.

3⇒ 1: Homomorfismusϕ je vždy surjektivní homomorfismus. Jednoznačnost dává, že je i injektivní, tedy izomorfismus.

Věta 1.6(První věta o izomorfismu). Nechť R je okruh a nechť M, N jsou R-moduly. Nechť dáleϕ: M→N je homomorfismus R-modulů. Pakkerϕje podmodul modulu M a

M/kerϕ∼=ϕ(M).

Věta se snadno dokáže z první věty o izomorfismu pro grupy. Její důkaz zde proto neuvádíme.

Tvrzení 1.7. Buď ϕ: M→N homomorfismus R-modulů. Buď N₁ podmodul modulu N.

Pakϕ⁻¹(N₁) ={a∈M|ϕ(a)∈N₁}je podmodul modulu M.

Důkaz. Uvažme kanonickou projekci p: N→N/N₁. Pak

ϕ⁻¹(N₁) ={a∈M|ϕ(a)∈N₁}=ker(p◦ϕ),

přitom p◦ϕ: M→N/N₁ je homomorfismus podle tvrzení 1.3a jeho jádro je podmodul moduluMpodle tvrzení1.2.

Definice. Buď R okruh. R-modul F se nazývá volný nad množinou A⊆F, jestliže pro každý nenulový prvekx∈F existuje n∈N a jednoznačně daná n-prvková podmnožina {a₁,a₂, . . . ,a_n} ⊆Aa jednoznačně dané nenulové prvkyr₁,r₂, . . . ,r_n∈Rtakové, že platí x=r₁a₁+r₂a₂+· · ·+r_na_n. MnožinaAse nazývábázemoduluM.

Příklad. Nechť F je těleso. Pak každý F-modul je vektorový prostor. Každý vektorový prostor má nějakou bázi a platí, že libovolný prvek vektorového prostoru lze jednoznačně vyjádřit jako lineární kombinace prvků báze. KaždýF-modul je tedy volný.

Věta 1.8. Pro libovolnou množinu A existuje volný R-modul F(A)nad množinou A splňující následující univerzální vlastnost: je-li M libovolný R-modul a ϕ: A→M je libovolné zobrazení, pak existuje jediný homomorfismusψ: F(A)→M takový, žeψ(a) =ϕ(a)pro každé a∈A, tj. diagram

A ^{⊆ //}

ϕ !!

F(A)

∃!ψ

M

komutuje. Je-li A={a₁,a₂, . . . ,a_n}, pak F(A) =Ra₁⊕Ra₂⊕ · · · ⊕Ra_n∼=Rⁿ. Důkaz. Je-liA= /0, položímeF(A) =0. V opačném případě položme

F(A) ={f: A→R| f(a)6=0 jen pro konečně mnohoa∈A}.

Na této množině zavedeme operace sčítání a násobení prvky zRpo složkách, tj.

(f+g) (a) = f(a) +g(a), (r f)(a) =r(f(a)).

Jestliže f,g∈F(A), pak jistě(f+g)(a)6=0 ar(f(a))6=0 jen pro konečně mnohoa∈A.

Snadno se nahlédne, že takto definované operace zadávají naF(A) strukturu R-modulu.

Můžeme ztotožnitAjako podmnožinuF(A)předpisema7→ f_a, kde f_aje funkce nabývající hodnoty 1 vaa 0 jinde (tj. f_aje charakteristická funkcea). ModulF(A)je pak množinou R-lineárních kombinací prvků zA. Můžeme proto ztotožnit libovolnou funkci f ∈F(A)se součtemr₁a₁+r₂a₂+r_na_n, kde f(a_i) =r_ia na ostatních prvcíchAje f nulová. Budeme-li předpokládat, že jsou v tomto vyjádření všechnar_i6=0, má každá nenulová funkce ftakové vyjádření jediné.

Buďϕ: A→Mlibovolná funkce. Definujmeψ: F(A)→Mpředpisem ψ:

n i=1

∑

r_ia_i7→

n i=1

∑

r_iϕ(a_i).

Protože prvkyF(A)je možné zapsat jednoznačně jakoR-lineární kombinacea_i, je funkceψ dobře definovaná. Snadno se nahlédne, žeψ je homomorfismus R-modulů. Z definice je ψ|_A=ϕ. Navícψ je jediným možným rozšířenímϕ.

Je-liA={a₁,a₂, . . . ,a_n}, definujme zobrazení zF(A)→Rⁿpředpisem f =r₁a₁+r₂a₂+. . .r_na_n7→(r₁,r₂, . . . ,r_n).

Toto zobrazení je jistě homomorfismus modulů, který je surjektivní. Z jednoznačnosti vyjádření f ve tvaru ∑ⁿ_i=1r_ia_iplyne injektivita. Dostáváme tedy izomorfismus R-modulů F(A)∼=Rⁿ.

Důsledek 1.9. Jsou-li F₁, F₂volné moduly nad množinou A, existuje jediný izomorfismus mezi F₁a F₂, který je identitou na A.

Důkaz. Z předchozí věty dostáváme díky volnostiF₁aF₂ existenci a jednoznačnost zob- razeníψ₁,ψ₂takových, že diagram

A

⊆



⊆

F₁

ψ1 //

F₂

ψ2

oo

komutuje. Z jednoznačnosti navíc dostáváme, žeψ2◦ψ1=id_F1 aψ1◦ψ2=id_F2. Jsou to tedy jediné (vzájemně inverzní) izomorfismy modulů, které jsou identitou naA.

Poznámka. Každý volnýR-modul nad množinouAje izomorfní s M

a∈A

R.

Tvrzení 1.10. Každý modul je izomorfní s faktorovým modulem volného modulu.

Důkaz. BuďFvolný modul nad množinouXvšech nenulových prvků moduluM. Inkluze X→Mindukuje podle věty1.8surjektivní homomorfismus f: F →Mpředpisem

f

∑

∑

Z věty1.6dostáváme, žeM∼=F/kerf.

Definice. Buď R okruh, M levý R-modul. Řekneme, že prvek m∈M je torzní, jestliže existujer∈R,r6=0 takové, žerm=0. Množinu torzních prvků moduluMznačíme

Tor(M) ={m∈M| ∃r∈R, r6=0 : rm=0}.

Řekneme, že modulMjebez torze, jestliže Tor(M) ={0}.

ModulMse nazývátorzní, jestližeM=Tor(M).

Tvrzení 1.11. Nechť R je obor integrity.

1. Pro libovolný R-modul M jeTor(M)podmodul modulu M.

2. Modul M/Tor(M)je bez torze.

Důkaz. BuďRobor integrity.

1. Buďtem,n∈Tor(M). Pak existují nenulovér,s∈Rtakové, žerm=0=sn. Odtud rs(m+n) =rsm+rsn=s(rm) +r(sn) =s0+r0=0,

přitom 06=rs=sr platí díky tomu, žeRje obor integrity. Tor(M)je tedy množina uzavřená na sčítání. Zbývá ukázat, že je uzavřená i na násobení prvky zR. Buď tedy t∈Rlibovolný, pak

r(tm) =t(rm) =t0=0.

2. Protože z části 1 dostáváme, že Tor(M) je podmodul modulu M, můžeme uvážit projekci

ϕ: M→M/Tor(M), ϕ: m7→[m]

na faktormodul. Nechť [x]∈Tor(M/Tor(M)), existuje tedy nenulovér∈Rtakové, že[0] =r[x] =rϕ(x) =ϕ(rx). Odtudrx∈kerϕ=Tor(M). Existuje tedy nenulové s∈Rtakové, žes(rx) = (sr)x=0. Přitomsr6=0, vždyťRje obor integrity ar,s∈R jsou nenulové prvky. Protox∈Tor(M), tedy[x] = [0].

Příklad. Podmínku, aby R byl obor integrity, nemůžeme vypustit. Uvažme okruh Z/6Z jako modul sám nad sebou. Pak

Tor(Z/6Z) ={0,2,3,4}, což jistě není podmodul moduluZ/6Z.

Definice. BuďRokruh aMlevýR-modul.AnihilátoremmoduluMrozumíme množinu Ann(M) ={r∈R|rm=0∀m∈M}.

Tvrzení 1.12. Buď R okruh, M levý R-modul a N jeho podmodul, pak Ann(N) je ideál okruhu R.

Důkaz. Jistě 0∈Ann(N). Chceme ukázat, že Ann(N) je uzavřený na sčítání a násobení prvky okruhuR(z obou stran). Nechť tedyr,s∈Ann(N), pak pro každén∈Nplatí

(r+s)n=rn+sn=0, tedyr+s∈Ann(N). Buďt∈Rlibovolné, pak

(tr)n=t(rn) =t0=0, (rt)n=r(tn) =0, vždyťtn∈Nar∈Ann(N).

Příklad. Víme, žeZ-moduly jsou právě komutativní grupy. Torzním podmodulem komuta- tivní grupy M je tedy podgrupa obsahující všechny prvky konečného řádu. Má-li grupa M exponent e<∞, pakAnn(M) =Ze. V opačném případě jeAnn(M) =0.

1.2 Projektivní moduly

V této části budeme vycházet z textu [5].

Definice. BuďRokruh.R-modulPnazývámeprojektivní, jestliže pro libovolnéR-moduly M, N a libovolné homomorfismy h: M →N a f: P→N, kde h je surjektivní, existuje homomorfismus g: P→M takový, že hg= f, tj. existuje homomorfismus g takový, že diagram

P

f

∃g

M

h ////N komutuje.

Definice. NechťRje okruh 1. Řekneme, že posloupnost

A→^f B→^g C

R-modulů (případně grup) a homomorfismů mezi nimi jeexaktní v B, jestliže platí kerg=imf.

2. Posloupnost

· · · →X_n−1→X_n→X_n+1→. . .

se nazývá exaktní, jestliže je exaktní ve všech svých členech, kde je tento pojem definován (tj. ve všech členech mezi dvěma homomorfismy).

3. Krátkou exaktní posloupností rozumíme exaktní posloupnost tvaru 0→A→B→C→0.

Poznámka. Uvažme posloupnost

0→A→^f B→^g C→0.

1. Exaktnost vAznamená, že kerf =0, tj. f je injektivní. Exaktnost vCznamená, že img=C, tj.gje surjektivní. Tato posloupnost je tedy exaktní právě tehdy, když f je injektivní,gje surjektivní a imf =kerg.

2. Je-li uvažovaná posloupnost exaktní, pak platí

C∼=B/kerg=B/imf =B/f(A), přitom příslušné izomorfismy plynou z věty1.6.

Tvrzení 1.13. Přímý součet R-modulů^L_α∈IP_α je projektivní právě tehdy, když každý jeho sčítanec je projektivní.

Důkaz. OznačmeP=^L_α∈IP_α, dálei_α: P_α →Pkanonické vnoření a p_α: P→P_α kano- nickou projekci. Zejménap_α◦i_α =id_Pα.

„⇒“: Nechť Pje projektivní, nechťh: M→N je surjektivní homomorfismus a nechť f: P_α →Nje homomorfismus. Pak f◦p_α: P→N je homomorfismusR-modulů. Protože Pje projektivní, existuje homomorfismusg: P→Mtakový, že diagram

P

pα

g

P_α

f

M h ////N komutuje. Označmeϕ=g◦i_α: P_α →M, pak diagram

P_α

f

ϕ

~~

M h ////N komutuje,P_α je tedy projektivní.

„⇐“: Nechť jsou nyní všechny modulyP_α jsou projektivní,h: M→N je surjektivní homomorfismus a nechť je dán homomorfismus f: P→N. Protože všechny moduly P_α jsou projektivní, pro každéα existujeg_α tak, že diagram

P_α

i_α

gα

P

f

M h ////N

komutuje. Nyní stačí definovatψ =^L_α∈Ig_αp_α a dostáváme, že diagram P

f

ψ

~~M

h ////N komutuje, tedyPje projektivní modul.

Důsledek 1.14. Každý volný R-modul je projektivní.

Důkaz. Protože každýR-modul je přímým součtemR-modulůR, stačí díky předchozímu tvrzení ukázat, žeR je projektivní R-modul. Nechť jsou tedy M, N libovolné R-moduly ah: M→N surjektivní homomorfismus. Nechť f: R→N je libovolný homomorfismus.

Chceme tedy naléztg: R→Mtak, aby komutoval diagram R

f

∃g



M h ////N .

Označmef(1) =n. Protožehje surjektivní, existujem∈Mtakové, žeh(m) =n. Definujme gpředpisem

g(x) =x·m.

Buď x∈R libovolné, pak hg(x) =h(xm) =xh(m) =xn=x f(1) = f(x), diagram tedy komutuje.

Věta 1.15. Nechť je dán R-modul P. Následující podmínky jsou ekvivalentní:

1. R-modul P je projektivní.

2. Je-li posloupnost0→A→B→P→0exaktní, pak A⊕P∼=B.

3. R-modul P je přímým sčítancem vhodného volného R-modulu.

Důkaz. 1 ⇒ 2: Nechť je posloupnost 0→ A→^f B →^g P→ 0 exaktní, nutně je tedy g surjektivní homomorfismus. Protože jePprojektivní, existujehtakové, že diagram

P

id

h

A ^

f //B _g ^////P

komutuje. Protožegh=id, je nutněhinjektivní. Chceme dokázat, žeB∼=A⊕P. Protože f,hjsou injektivní, dostávámeA∼=imf,P∼=imh.

Buďx∈Blibovolný. Označmehg(x) =y∈imh. Platí hg(x−y) =hg(x−hg(x)) =hg(x)−h gh

|{z}

id_P

g(x) =hg(x)−hg(x) =0.

Protožehje injektivní, platíg(x−y) =0. Dostáváme, žez=x−y∈kerg=imf. Odtud x=y+z, kdey∈imhaz∈imf, tj.B=imf+imh.

Nyní ukážeme, že imf ∩imh=0. Nechťt ∈imf ∩imh, pak t =h(u) pro vhodné u∈P. Protože imf =kerg, je g(t) =0, tedy g(h(u)) =0, přitom gh=id_P, nutně tedy u=0 at=0.

Použitím tvrzení1.5dostáváme, žeB=imf⊕imh∼=A⊕P.

2 ⇒ 3: Z tvrzení 1.10 víme, že každý modul je izomorfní s faktorovým modulem volného modulu. ModulPje tedy izomorfní s faktorovým modulem nějakého volného mo- duluF. Existuje proto surjektivní homomorfismus p: F→P, totiž projekce na faktorový modul složená s příslušným izomorfismem. Pro vhodný modulNje posloupnost

0→N→F →P→0 exaktní. Z podmínky2dostáváme, žeN⊕P∼=F.

3⇒1: JestližeF =P⊕Nje volný, pak je podle důsledku1.14projektivní. ProtožeP je přímý sčítanec projektivního modulu, je podle tvrzení1.13sám projektivní.

Příklad. 1. Z/6Z-modulyZ/2ZaZ/3Zjsou projektivní, vždyť jsou přímými sčítanci volného moduluZ/6Z∼=Z/2Z⊕Z/3Z. Nejsou ale volné jakoZ/6Zmoduly.

2. Uvažme Z-modul M takový, že Tor(M)6={0}, pak M není projektivní, vždyť pro- jektivní moduly jsou přímé sčítance volných modulů a volný modul nad oborem integrity má triviální torzi. Tedy žádná komutativní grupa obsahující nenulový prvek konečného řádu není projektivníZ-modul.

Věta 1.16. R-modul P je projektivní právě tehdy, když existuje množina(a_t)_t∈T prvků z P a systém(f_t)_t∈T homomorfismů R-modulů f_t: P→R takových, že pro každý prvek a∈P je jen konečně mnoho t∈T takových, že f_t(a)6=0, a navíc pro každé a∈P platí

a=

∑

t∈T

f_t(a)a_t.

Důkaz. „⇒“: Nechť Pje projektivní R-modul. Pak z předchozího tvrzení plyne, žeP je přímým sčítancem nějakého volného R-modulu F. Díky poznámce před tvrzením 1.10 můžeme předpokládat, žeF=^L_t∈TRpro nějakou indexovou množinuT, tj.

P⊕N=^M

t∈T

R, pro vhodnýR-modulN.

Označme p: ^L_t∈TR→P kanonickou projekci, i: P→^L_t∈TR kanonické vnoření, (x_t)_t∈T množinu prvků, které volně generují ^L_t∈TR. Dále označme p_t: ^L_t∈TR→ R kanonickou projekci nat-tou složku a položme f_t=p_t◦i: P→R.

Buďa∈Plibovolné, pak

i(a) =

∑

t∈T

f_t(a)x_t

pro vhodná f_t(a)∈R, přitom jen konečně mnoho f_t(a)∈Rje nenulových (vždyť na obou stranách je prvek^L_t∈TR). Navíc f_t: P→Rjsou podle tvrzení1.3homomorfismy modulů.

Na obě strany rovnosti aplikujme pa dostáváme a=

∑

t∈T

f_t(a)p(x_t),

vždyť p◦i=id_P (jak jsme jsme uváděli v poznámce před tvrzením1.5) a pje homomor- fismus modulů. Pokud položímep(x_t) =a_t, dostáváme

a=

∑

t∈T

f_t(a)a_t.

„⇐“: Nechť opětF=^L_t∈TRa nechť(x_t)_t∈T je množina prvků, kteráFvolně generuje.

Podle věty1.8 existuje jediný homomorfismus f: F →Ptakový, že f(x_t) =a_t. Uvažme dále homomorfismusg: P→F daný předpisem

g(a) =

∑

t∈T

f_t(a)x_t.

Zobrazení je skutečně homomorfismus, protože f_t jsou homomorfismy a jen konečně mnoho sčítanců je nenulových. Pak

f◦g(a) = f

∑

t∈T

f_t(a)x_t

!

=

∑

t∈T

f_t(a)a_t=a,

přičemž poslední rovnost je předpokladem dokazované implikace. Proto f ◦gje identita naP.

Ukážeme, že P je přímým sčítancem F. Protože f g=id_P, je nutně g injektivní a f surjektivní. JistěP∼=g f(F)⊆F. TedyPje izomorfní s img f, což je podmodul moduluF.

Nechť jex∈F libovolný, pakx= (x−g f(x)) +g f(x), kdex−g f(x)∈kerg f, vždyť g f(x−g f(x)) =g f(x)−g f g f(x) =g f(x)−g f(x) =0, a jistěg f(x)∈img f. Odtud do- stávámeF=kerg f+img f.

Nechť je nyní x ∈kerg f ∩img f, pak existuje y∈F takové, že g f(y) =x. Pak ale x=g f(y) =g f g f(y) =g f(x) =0, tedy kerg f∩img f =0. To podle tvrzení1.5 dává, že F=kerg f⊕img f ∼=kerg f⊕P. Dostáváme, žePje přímým sčítancem volného modulu, což podle tvrzení1.15znamená, žePje projektivní modul. Tímto je důkaz hotov.

Noetherovské a Dedekindovy okruhy

V této kapitole se budeme věnovat především Dedekindovým okruhům a jejich vlast- nostem. Za tímto účelem zavedeme pojem noetherovského okruhu. Poznamenejme, že noetherovský okruh nemusí být komutativní. Pro nás však případ nekomutativních okruhů nebude důležitý, proto budeme dále uvažovat pouze komutativní noetherovské okruhy.

V celé této kapitole budeme vycházet z textu [5].

Poznámka. V minulé kapitole jsme uvedli, že levé ideály okruhuRmůžeme chápat jako podmoduly levého R-modulu R. Je-li R komutativní okruh, pak jsou levé ideály právě (oboustranné) ideály. Protože v tomto případě je ideál (a₁, . . . ,a_n) generovaný prvky

a₁, . . . ,a_n∈ R roven součtu cyklických levých R-modulů Ra₁+· · ·+Ra_n i cyklických

pravýchR-modulůa₁R+· · ·+a_nR, budeme dále využívat všech tří zápisů (a₁, . . . ,a_n) =Ra₁+· · ·+Ra_n=a₁R+· · ·+a_nR.

RovnostRa_i=a_iR můžeme uvažovat díky tomu, žea_i∈R, kdeR je komutativní okruh.

Podobně budeme tuto rovnost využívat proa_i∈K, kdeKje komutativní okruh obsahující R (zejména je-li R obor integrity a K jeho podílové těleso). V těchto případech totiž {ar|r ∈R} ={ra| r∈ R}, přitom obě množiny jsou dobře definované. Pokud tento případ nenastane, budemeR-modulem i nadále rozumět levýR-modul a budeme používat příslušné značení.

2.1 Noetherovské okruhy a moduly

Definice. Komutativní okruh se nazývánoetherovský, jestliže každá rostoucí posloupnost ideálů (vzhledem k inkluzi)I₁⊂I₂⊂I₃. . . je konečná.

Tvrzení 2.1. Komutativní okruh je noetherovský právě tehdy, když je každý jeho ideál konečně generovaný.

Důkaz. „⇒“: Důkaz povedeme obměnou. BuďRokruh aIjeho ideál, který není konečně generovaný. Buďx₁∈Ilibovolný a označmeI₁= (x₁). Zvolme libovolněx₂∈I\I₁a ozna- čmeI₂= (x₁,x₂), . . . , zvolme libovolněx_n+1∈I\I_na označměI_n+1= (x₁, . . . ,x_n,x_n+1).

Volbax_npůjde udělat pro libovolnén∈N, vždyťInení konečně generovaný. Tímto postu- pem dostáváme nekonečnou rostoucí posloupnost ideálů.Rtedy není noetherovský.

– 18 –

„⇐“: BuďRokruh, jehož každý ideál je konečně generovaný. Předpokládejme sporem, že existuje nekonečná rostoucí posloupnost ideálůI₁⊂I₂⊂. . .. OznačmeI=^S_n∈NI_n. Pro- tožeIje sjednocením do sebe vnořených ideálů, jeItaké ideál.Ije z předpokladu konečně generovaný. Každý jeho generátor leží v nějakém ideáluI_i, proto všechny generátory leží v nějakém ideáluI_k(kdekje největší z těchtoi). Pak aleI⊆I_k⊂I_k+1⊂I, což je spor.

Důsledek 2.2. Každý okruh hlavních ideálů je noetherovský.

Věta 2.3(Hilbertova věta o bázi). Jestliže R je noetherovský okruh, pak je noetherovský i okruh polynomů R[x].

Důkaz. Předpokládejme sporem, žeR[x]není noetherovský. BuďI jeho ideál, který není konečně generovaný. Označme

06= f₁∈Iminimálního stupně,(f₁)6=I, f₂∈I\(f₁)minimálního stupně,(f₁,f₂)6=I,

...

(f₁)⊂(f₁,f₂)⊂(f₁,f₂,f₃)⊂. . .

Označmea_i∈Rvedoucí koeficient an_istupeň polynomu f_i, přitom z konstrukce plyne, že n₁≤n₂≤n₃≤. . .. Jistě

(a₁)⊆(a₁,a₂)⊆(a₁,a₂,a₃)⊆. . .

ProtožeRje noetherovský, musí pro nějakék∈Nnastat(a₁, . . . ,a_k) = (a₁, . . . ,a_k,a_k+1), zejména

a_k+1=

k i=1

∑

r_ia_i pro vhodnár_i∈R. Položme

h= f_k+1−

k i=1

∑

rⁱx^nk+1−nif_i∈/(f₁,f₂, . . . ,f_k).

Přitom ale sth<stf_k+1, což je spor s výběrem f_k+1. Příklad.

1. OkruhZje noetherovský, vždyťZje dokonce okruhem hlavních ideálů.

2. Každé těleso je noetherovský okruh.

3. Okruh polynomů konečně mnoha proměnných nad noetherovským okruhem je no- etherovský.

4. Okruh polynomů nekonečně mnoha proměnných x₁,x₂, . . .nad libovolným netriviál- ním okruhem není noetherovský, vždyť

(x₁)⊂(x₁,x₂)⊂(x₁,x₂,x₃)⊂. . . je nekonečná rostoucí posloupnost ideálů.

5. Okruh celých algebraických čísel (tj. čísel α ∈C, které jsou kořenem nějakého normovaného polynomu s celočíselnými koeficienty) není noetherovský, vždyť

(2)⊂(√

2)⊂(√⁴

2)⊂(√⁸

2)⊂. . . je nekonečná rostoucí posloupnost ideálů.

Definice. NechťRje komutativní okruh. Řekneme, žeR-modulMjenoetherovský, jestliže každá rostoucí posloupnost jeho podmodulůM₁⊂M₂⊂M₃⊂. . . je konečná.

Lemma 2.4. Nechť R je komutativní okruh, M, M₁, M₂jsou R-moduly takové, že posloup- nost R-modulů

0→M₁→M→M₂→0

je exaktní. Pak je M je noetherovský právě tehdy, když jsou noetherovské moduly M₁a M₂. Důkaz. „⇒“: BuďMnoetherovský a 0→M₁→M→M₂→0 exaktní. ModulM₁je vnořen doM, lze ho tedy chápat jako podmodul moduluM. Pak každý podmodul moduluM₁je též podmodulemM. Nekonečná rostoucí posloupnost podmodulů vM₁ by byla nekonečnou rostoucí posloupností podmodulů vM, což není možné.M₁je tedy noetherovský.

Předpokládejme sporem, žeM₂ není noetherovský. BuďI₁⊂I₂⊂. . . nekonečná ros- toucí posloupnost podmodulů M₂. Protože máme surjektivní homomorfismus M →M₂, můžeme uvážit úplný vzor každého z podmodulůI_j v tomto zobrazení, přitom vzor pod- modulu je podmodul podle tvrzení1.7. Protože je zobrazení surjektivní, je tato posloupnost rostoucí, což je spor s tím, žeMje noetherovský.

„⇐“: BuďteM₁,M₂noetherovské a 0→M₁→M→M₂→0 exaktní. Homomorfismus M→M₂označme f. Předpokládejme sporem, žeMnení noetherovský. BuďI₁⊂I₂⊂. . . nekonečná rostoucí posloupnost podmodulů moduluM.

Opět můžeme chápatM₁jako podmodul moduluM. Uvažme podmodulyL_j=I_j∩M₁. Z noetherovskosti moduluM₁plyne existencen₁∈Ntakového, žeL_n1=L_n1+t pro všechna t∈N.

OznačmeJ_i= f(I_i). Protože J₁⊆J₂⊆. . ., existuje n₂∈Ntakové, žeJ_n2 =J_n2+t pro všechnat∈N.

Označme dále f_i= f|_Ii a položmen=max{n₁,n₂}. Buďr≥nlibovolné. Dostáváme krátké exaktní posloupnosti

0 ^//I_n∩M₁ ^{⊆ //}I_{n _} ^{fn ////}

⊂

J_n ^//0 0 ^//I_r∩M₁ ^{ ⊆ //}I_r ^{fr ////}J_r ^//0.

Buďa∈I_rlibovolné. Označmex= f_r(a). Protože f_nje surjektivní, existujeb∈I_ntakové, žex= f_n(b). Pak ale f_r(a−b) =0, tedya−b∈I_r∩M₁=I_n∩M₁. Odtud dostáváme, že a∈I_n. Protožea∈I_r bylo libovolné, dostávámeI_r=I_n, což je spor.

Tvrzení 2.5.

1. Přímý součet konečného počtu noetherovských modulů je noetherovský.

2. Homomorfní obraz noetherovského modulu je noetherovský.

Důkaz.

1. Nechť A, B jsou noetherovské okruhy. Protože 0→A→A⊕B→B→0 je krátká exaktní posloupnost, je podle lemmatu2.4iA⊕Bnoetherovský. Libovolné konečné součty dostaneme indukcí.

2. Buď A noetherovský a uvažme libovolný homomorfismus ϕ: A→B. Pak podle věty 1.6 je ϕ(A) ∼=A/kerϕ. Podle lemmatu 2.4 je faktormodul noetherovského modulu noetherovský.

Poznámka. Doposud jsme ukázali tvrzení o noetherovských okruzích a noetherovských modulech. Snadno lze rozmyslet, že okruh R je noetherovský právě tehdy, když je R noetherovský jakoR-modul (vždyť ideály jsou v tomto případě právě podmoduly). Nabízí se otázka, zda z noetherovskosti okruhu můžeme něco říct o noetherovskosti různých modulů nad ním. Následující věta tvrdí, že ano.

Věta 2.6. Buď R noetherovský okruh, M konečně generovaný R-modul. Pak M je noethe- rovský modul.

Důkaz. Označme generátoryM jakox₁, . . . ,x_m. V předchozí poznámce jsme rozmysleli, že R je noetherovský modul. Z tvrzení 2.5 dostáváme, že i R^m je noetherovský modul.

Uvažme y₁, . . . ,y_m∈R^m, které volně generují R^m, a homomorfismus f: R^m→M, který je dán předpisem f(y_i) =x_i (korektnost plyne z volnosti generátorůy_i, což jsme ukázali ve větě1.8). ModulMje potom homomorfním obrazem noetherovského moduluR^m, což podle tvrzení2.5znamená, žeMje noetherovský.

2.2 Lomené ideály a Dedekindovy okruhy

Definice.

1. Buď R obor integrity a K jeho podílové těleso. Lomeným ideálem R rozumíme libovolný nenulovýR-podmodulI R-modulu K takový, že existuje nenulovér∈R, pro kterérI⊆R.

2. Lomený ideál I se nazývá hlavní, jestliže je jako R-modul generovaný jediným prvkem.

3. Součinemlomených ideálůI,Jrozumíme lomený ideál I·J=

( n

∑

k=1

a_k·b_k|a_k∈I, b_k∈J,n∈N )

.

Nebude-li uvedeno jinak, budeme dále předpokládat, že R je obor integrity aK jeho podílové těleso.

Lemma 2.7. Nechť R je obor integrity.

1. Lomené ideály ležící v R jsou (celé) ideály okruhu R a nenulové ideály okruhu R jsou lomené ideály ležící v R.

2. Množina lomených ideálů spolu s operací násobení definovanou výše tvoří komu- tativní monoid, jehož neutrální prvek je R. Pokud k nějakému prvku existuje prvek inverzní, pak je tato inverze dána jednoznačně.

Důkaz.

1. Zřejmé, vždyť (celé) ideály jsou právě podmodulyR-moduluR.

2. Jistě pro každý lomený ideál platí, že IR=I, vždyť I je R-modul. Asociativita a komutativita se přenesou z asociativity a komutativity násobení jednotlivých prvků.

Zbývá ukázat jednoznačnost inverze. Nechť I je lomený ideál aJ,J⁰ lomené ideály k němu inverzní. PakJ=JR=J(IJ⁰) = (JI)J⁰=RJ⁰=J⁰.

Definice. Řekneme, že lomený ideál I oboru integrity R je invertibilní, jestliže existuje lomený ideálJtakový, žeI·J=R. V tomto případě značímeJ=I⁻¹.

Definice. Nechť I je lomený ideál oboru integrity R a nechť K je podílové těleso R.

MnožinouI⁰budeme rozumět množinu

{a∈K|aI⊆R}.

Lemma 2.8. Nechť R je obor integrity, I jeho lomený ideál, pak I⁰je lomený ideál takový, že II⁰⊆R. Navíc II⁰=R právě tehdy, když I je invertibilní.

Důkaz. JistěI⁰ je nenulovýR-modul. Uvažme nenulový prveky∈I. ProtožeI je lomený ideál, existuje nenulový prvekr∈Rtakový, že ry∈R. Jistěry∈R∩I. Pro každé a∈I⁰ mámeary∈R. Dostáváme, žeI⁰je lomený ideál. Jistě vždy platíII⁰⊆R.

„⇒“: Zřejmě pokudII⁰=R, jeI⁰=I⁻¹, tedyIje invertibilní.

„⇐“: Nechť jeIinvertibilní. Protože inkluzeII⁰⊆Rplatí vždy, stačí ukázat, žeR⊆II⁰. Přitom z definiceI⁰dostáváme, žeI⁻¹⊆I⁰, protoR=II⁻¹⊆II⁰.

Tvrzení 2.9. Každý hlavní lomený ideál je invertibilní a množina všech invertibilních lomených ideálů tvoří komutativní grupu vzhledem k násobení. Množina hlavních lomených ideálů tvoří podgrupu této grupy.

Důkaz. NechťIje hlavní lomený ideál, pakI=aRpro nějaké nenulovéa∈K. Pak zřejmě I⁻¹=a⁻¹R, což je opět hlavní lomený ideál.

Z lemmatu2.7dostáváme, že lomené ideály tvoří komutativní monoid vzhledem k ope- raci násobení. Množina invertibilních prvků monoidu tvoří grupu, vždyť pokud jsouI₁,I₂ invertibilní, pak inverze kI₁·I₂jeI₂⁻¹I₁⁻¹.

Konečně součinem hlavních ideálů je jistě hlavní ideál (generovaný součinem generá- torů).

Definice. Řekneme, že obor integrityRjeDedekindůvokruh, jestliže jeho každý lomený ideál je invertibilní.

Příklad. Z tvrzení2.9 plyne, že každý okruh hlavních ideálů je Dedekindův. Vždyť každý lomený ideál v okruhu hlavních ideálů je hlavní, tedy invertibilní.

Věta 2.10. Nechť R je Dedekindův okruh. Pak R je noetherovský a každý nenulový prvoideál je maximální.

Důkaz. BuďIlibovolný nenulový ideál okruhuR. JelikožRje Dedekindův, jeIinvertibilní.

ProtožeI·I⁻¹=R, existují a_i∈I ab_i∈I⁻¹proi=1,2, . . . ,mtakové, že∑^m_i=1a_i·b_i=1.

Buďx∈Ilibovolný prvek, pak jistěxb_i∈Ra dále

x=x·1= (xb₁)a₁+ (xb₂)a₂+· · ·+ (xb_n)a_n. ProtoI= (a₁,a₂, . . . ,a_n).

BuďPlibovolný nenulový prvoideál okruhuR. BuďM maximální ideál obsahujícíP.

Dostáváme PM⁻¹⊆MM⁻¹ =R, tedy PM⁻¹ je ideál okruhu R. Protože P je prvoideál a platí(PM⁻¹)·M=P, jePM⁻¹⊆PneboM⊆P(jinak by existoval prvekx∈PM⁻¹\P ay∈M\Ptakový, žexy∈P, což je spor).

První možnost dáváM⁻¹=P⁻¹PM⁻¹⊆P⁻¹P⊆R, což po vynásobeníMdáváR⊆M.

To je ale spor, vždyť M ⊂R je maximální ideál. Platí proto druhá možnost, tj. M⊆P, přitomMje maximální ideál obsahujícíP, tedyP=M.

Definice. BuďRobor integrity aLtěleso, které jej obsahuje. Prvekα ∈Lse nazývácelý nad okruhem R (takéR-celý), jestliže je kořenem normovaného polynomu s koeficienty zR.

Věta 2.11. Nechť R je obor integrity, L těleso, které jej obsahuje, a α ∈L. Následující tvrzení jsou ekvivalentní:

1. α je R-celý.

2. Okruh R[α]generovaný R aα je konečně generovaný R-modul.

3. Existuje konečně generovaný, nenulový R-modul M⊆L takový, žeαM⊆M.

Důkaz. 1⇒2: Nechť jeα R-celý. Pak existuje normovaný polynom f ∈R[x], jehož jeα kořenem, platí tedy

αⁿ+a_n−1αⁿ⁻¹+· · ·+a₁α+a₀=0.

Prvky 1,α,α², . . . ,αⁿ⁻¹proto generujíR-modulR[α].

2⇒3: Stačí uvážitM=R[α].

3⇒1: Označmez₁, . . . ,z_rgenerátoryM. ProtožeαM⊆M, existujíb_{i j}∈Rtakové, že αz₁=b₁₁z₁+· · ·+b_1rz_r,

αz₂=b₂₁z₁+· · ·+b_2rz_r, ...

αz_r=b_r1z₁+· · ·+b_rrz_r.

Převedením levých stran vpravo dostáváme následující rovnost











b₁₁−α b₁₂ . . . b_1r

b₂₁ b₂₂−α . . . b_2r

... ... . .. ...

b_r1 b_r2 . . . b_rr−α



















 z₁ z₂ ... z_r











=









 0 0 ... 0









 .

Protože z₁, z₂, . . . ,z_r jsou generátory nenulového modulu M, je alespoň jeden z nich nenulový. Sloupce matice z předešlé rovnosti jsou tedy lineárně závislé. Proto

f(x) = (−1)^r·det











b₁₁−x b₁₂ . . . b_1r

b₂₁ b₂₂−x . . . b_2r

... ... . .. ...

b_r1 b_r2 . . . b_rr−x











je normovaný polynom s koeficienty vR, jehož kořen jeα, což jsme chtěli dokázat.

Důsledek 2.12. Nechť L je těleso a R jeho podokruh. Pak množina R-celých prvkůα∈L tvoří okruh obsahující R.

Důkaz. Nechť a,b∈L jsou R-celé. NechťM, N jsou konečně generované nenulové pod- modulyR-moduluLtakové, žeaM⊆M,bN⊆N. UvažmeR-modulMNjakožtoR-modul generovaný všemi součiny generátorů modulůMaN (tj. prvky tvarux_iy_j, kdex_ije gene- rátorMay_j je generátorN), přitom operaci násobení máme definovánu, vždyťLje těleso aM,Njsou jeho podmoduly. Jistě jeMNnenulový a konečně generovanýR-modul. Přitom (a±b)MN⊆MN a(ab)MN⊆MN, tedya+b,a−b,a·bjsouR-celé. Zřejmě libovolné α∈RjeR-celý prvek, vždyťα je kořenemx−α∈R[x].

Definice. Buď R obor integrity, K jeho podílové těleso a L libovolné těleso obsahující R. Okruh R-celých prvků α ∈L se nazývá celistvý uzávěr R v L. Okruh R se nazývá celouzavřený, je-li roven svému celistvému uzávěru vK.

Věta 2.13. Nechť R je obor integrity obsažený v tělese K. Nechť L je libovolné rozšíření tělesa K. Je-li S celistvý uzávěr okruhu R v K, pak celistvé uzávěry R a S v L splývají.

Důkaz. Nechť je dánR-celý prvekα∈L, pak existuje normovaný polynom f ∈R[x], který má kořenα. Z důsledku2.12víme, žeR⊆S. Proto je f ∈S[x], a tedyα jeS-celý.

Nechť je naopak dánS-celý prvekα∈L, pak existují prvkya₀,a₁, . . . ,a_n−1∈Stakové, žeαⁿ+a_n−1αⁿ⁻¹+· · ·+a₁α+a₀=0. Protožea_i∈SjeR-celý pro každéi∈ {0, . . . ,n−1}, je kořenem normovaného polynomu s koeficienty vR. Matematickou indukcí ukážeme, že R₁=R[a₀, . . . ,a_n−1]je konečně generovanýR-modul.

Z věty2.11plyne, žeR[a₀]je konečně generovanýR-modul.

Předpokládejme, že R[a₀, . . . ,a_i−1] je konečně generovaný R-modul, označme jeho generátoryx₁, . . . ,x_k. Protožea_i∈SjeR-celý, je kořenem normovaného polynomu s koe- ficienty zR⊆R[a₀, . . . ,a_i−1], proto a_ije téžR[a₀, . . . ,a_i−1]-celý. To podle věty2.11 zna- mená, žeR[a₀, . . . ,a_i]je konečně generovanýR[a₀, . . . ,a_i−1]-modul. Generátory označme