Konečně generované torzní moduly nad okruhy s diskrétní valuací

V této části využijeme myšlenky důkazů z textu [2].

Poznámka. Ve větě3.1jsme ukázali, že každý konečně generovaný torzní modulN6={0}

nad Dedekindovým okruhemRlze rozložit na přímé sčítance, které jsou tvaruN/P^eN, kde Pje nějaký nenulový prvoideál. Můžeme proto chápatN/P^eN jakoR/P^e-modul, přitom podle věty 3.8 je R/P^e ∼=R_P/P^eR_P. Lze proto N/P^eN uvažovat jako R_P modul, jehož anihilátor obsahujeP^eR_P, přitomR_Pje okruh s diskrétní valuací.

Lemma 3.9. Nechť R je okruh hlavních ideálů, M cyklický R-modul. Pak existuje a∈R takové, že

M∼=R/aR, přitom platí aR=Ann(M).

Důkaz. R-modulMje cyklický, tj.M=xR. Můžeme definovat homomorfismus modulů ϕ:R→M,

ϕ: r7→rx.

Zřejmě jeϕ surjektivní. První věta o izomorfismu (věta1.6) dává M∼=R/kerϕ,

kde kerϕje podle tvrzení1.2podmodul moduluR, tedy ideál okruhuR. ProtožeRje okruh hlavních ideálů, existujea∈Rtakové, žeaR=kerϕ, tj.

M∼=R/aR.

Navíc platíϕ(r) =rx=0 právě tehdy, kdyžr∈Ann(M), tedy kerϕ=Ann(M).

Věta 3.10. Nechť R je okruh hlavních ideálů. Nechť M je konečně generovaný R-modul a N jeho podmodul takový, že pokud m∈M a r∈R splní rm∈N, pak existuje n∈N takové, že rm=rn. Nechť je navíc R-modul M/N izomorfní s přímým součtem cyklických R-modulů, pak M∼=M/N⊕N.

Důkaz. Je-liM/Npřímým součtem cyklických modulů, pak je každý sčítanec generovaný prvkemx_i+Npro vhodnéx_i∈M\N. Protože Ann(x_i+N)je ideál okruhuR, je generovaný jediným prvkem, ten označmea_i. Dostávámea_ix_i∈N, existuje proto z předpokladů věty z_i∈Ntakové, žea_ix_i=a_iz_i. Pakx_i+N= (x_i−z_i) +Naa_i(x_i−z_i) =0.

Každý prvekR(x_i+N)je tvarurx_i+N. Uvažme proto zobrazení s_i: R(x_i+N)→M,

s_i: rx_i+N7→r(x_i−z_i).

Ukažme, žes_izadává (injektivní) homomorfismus modulů. Nechťrx_i+N=tx_i+N, pak ale (r−t)x_i+N=0+N, tedy(r−t)∈a_iR. Odtudr−t=a_iq, přitom protožea_i(x_i−z_i) =0, dostáváme(r−t)(x_i−z_i) =0, tedy r(x_i−z_i) =t(x_i−z_i). Zobrazení s_i je tedy korektně definované. Zřejmě se jedná o homomorfismus modulů. Označmeψ: M→M/Nprojekci na faktormodul. Protože je složeníψ◦s_iidentita naR(x_i+N), vždyť

rx_i+N7→^si r(x_i−z_i)7→^ψ rx_i+N, kdez_i∈N, jes_iinjekce.

NechťM/N=^Lk_i=1R(x_i+N). Buďι: N→Mvnoření podmodulu do modulu. Označ-meϕ= (^Lk_i=1s_i)⊕ι přímý součet homomorfismů, tedy zobrazení

ϕ: M/N⊕N→M

dané předpisemϕ((r₁x₁+N, . . . ,r_kx_k+N,n)) =n+∑^k_i=1r_i(x_i−z_i). Jistě se jedná o ho-momorfismusR-modulů. Chceme ukázat, že jde dokonce o izomorfismus.

Protožeψ◦s_i je identita na (x_i+N)R, je restrikce složení ψ◦ϕ na podmodul M/N identitou naM/N.

• Nechť (r₁x₁+N, . . . ,r_kx_k+N,n)∈kerϕ ⊆M/N⊕N, pakn+∑^k_i=1r_i(x_i−z_i) =0.

Homomorfismusϕ je tedy izomorfismusR-modulů.

Věta 3.11. Nechť R je okruh s diskrétní valuací, p ∈R takové, že pR je jeho jediný nenulový prvoideál. Nechť M je konečně generovaný torzní R-modul, pak M je přímým součtem konečně mnoha torzních cyklických modulů.

Důkaz. Je-li M ={0}, pak M = R/1R. Můžeme proto uvažovat, že M 6={0}. Nechť

x₁, . . . ,x_t je množina generátorůMminimální kardinality. Indukcí vzhledem ktukážeme,

žeMje přímým součtemtnebo méně cyklických sčítanců. Tvrzení zřejmě platí prot=1.

Buď tedy t ≥2 a předpokládejme, že tvrzení platí pro všechny torzní moduly s méně generátory.

Nechť Ann(Rx_i) =pⁿⁱR, n=maxi=1,...,t{n_i}. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, žen=n₁.

Protože M/Rx₁ je generovaný pouze t−1 prvky, je tento modul přímým součtem nejvýšet−1 cyklických modulů. Zbývá ukázat, že Rx₁ splňuje předpoklady věty 3.10.

Nechť tedym∈Mar∈Rjsou takové, žerm∈Rx₁. Je-lirm=0, pakrm=r0, kde 0∈Rx₁.

stačí tedy ukázat, že l≥k. Vynásobme proto obě strany předchozí rovnosti p^n−l−1∈R, obdržíme

up^k+n−l−1m=vpⁿ⁻¹x₁6=0,

tedyk+n−l−1≤n−1, vždyťpⁿM=0. To dávák≤l, což jsme chtěli ukázat.

3.3 Konečně generované torzní moduly nad Dedekindo-vými okruhy

Lemma 3.12. Buď R Dedekindův okruh, P jeho nenulový prvoideál. Buď N nenulový konečně generovaný torzní R-modul. UvažmeAnn(N) =∏^t_i=1P_i^ei rozklad anihilátoru na součin prvoideálů. Pro libovolné pevné j∈ {1, . . . ,t}označme P_j=P, e_j=e. Pak platí

N/P^eN∼=

k

M

i=1

R/P^fi,

pro nějaké k∈Na f_i∈N, kde navíc f_i≤e.

Důkaz. Jistě jeN/P^eNkonečně generovanýR-modul. Na tentoR-modul se můžeme dívat také jako naR/P^emodul, vždyť pokudx+P^e=y+P^e∈R/P^e, pak pro libovolnén∈N je (x−y)n+P^eN=0+P^eN, tedyxn+P^eN=yn+P^eN. Vidíme, že naN/P^eNspolu struktury R-modulu a R/P^e-modulu jednoznačně korespondují (tj. z násobení prvků z R/P^e jsme schopni jednoznačně zjistit, jak se bude násobit prvky zR a naopak). Z věty 3.8 víme, že R/P^e ∼=R_P/P^eR_P. Můžeme proto chápat N/P^eN jako R_P/P^eR_P-modul, tedy jako R_P modul, jehož anihilátor obsahujeP^eR_P. Tento modul splňuje předpoklady věty3.11, proto

N/P^eN∼=

k

M

i=1

R_P/P^fiR_P.

Přitom jistě 1≤ f_i≤e, vždyťN/P^eNje torzní a anihilátorN/P^eNobsahujeP^eR_P, sčítanec s f_i>eby pak nebyl ideálemP^eR_P anihilován. Zbývá tedy ukázat, že

R_P/P^fiR_P∼=R/P^fi jakoR-moduly. Uvažujme proto diagram

R ^{ λ //}

ϕ ##

R_P

π

R_P/P^eR_P

z věty 3.8. Protože ϕ je izomorfismus okruhů indukovaný vnořením, musí nutně pla-tit ϕ(r·s) =rϕ(s). Protože podmínka ϕ(r+s) =ϕ(r) +ϕ(s) je splněna tím, že ϕ je izomorfismus okruhů, jeϕi izomorfismemR-modulů. Dostáváme

N/P^eN∼=

k

M

i=1

R/P^fi,

což jsme chtěli dokázat.

Nyní máme připraveno vše potřebné, abychom mohli popsat torzní podmoduly konečně generovaných modulů nad Dedekindovými okruhy.

Věta 3.13. Nechť R je Dedekindův okruh, N konečně generovaný torzní R-modul. Pak

N∼=

s

M

i=1

R/P_i^ei

pro nějaké s≥0 a mocniny P_i^ei, e_i≥1ne nutně různých nenulových prvoideálů, přitom ideály P_i^eijsou dány jednoznačně (až na pořadí).

Důkaz. ProN={0}je zřejměs=0. ProN 6={0}dostáváme z věty3.1izomorfismus N∼=

t

M

i=1

N/P_i^fiN ,

přitom∏^t_i=1P_i^fi =Ann(N). Z lemmatu3.12dostáváme tvar N∼=

t

M

i=1 ki

M

j=1

R/P_i^{ei j}

! ,

kdeP_ijsou různé prvoideály. Odtud ihned dostáváme požadovaný tvar (pros=∑^t_i=1k_i).

Zbývá dokázat jednoznačnost. Víme, že pro libovolný nenulový prvoideálP Dedekin-dova okruhuRjePⁱN podmodulem moduluN. Díky tomu dostáváme následující podmo-duly

N⊇PN⊇P²N⊇ · · · ⊇PⁱN⊇. . .

FaktormodulPⁱ⁻¹N/PⁱN jeR-modulem s anihilátorem obsahujícímP, je tedy též vekto-rovým prostorem nad tělesemR/P. Počet přímých sčítanců izomorfních sR/Pⁱje pak

dimPⁱ⁻¹N/PⁱN−dimPⁱN/Pⁱ⁺¹N, což je číslo jednoznačně dané modulemN.

Konečně generované moduly nad Dedekindovými okruhy

V této kapitole zformulujeme a dokážeme větu o struktuře konečně generovaných modulů nad Dedekindovými okruhy a její dva známé důsledky. Vycházíme přitom z [1,5].

Tvrzení 4.1. Buď R obor integrity a I jeho nenulový ideál. Pak I je projektivní jako R-modul právě tehdy, když je invertibilní.

Důkaz. NechťKznačí podílové těleso oboru integrityR.

„⇒“: Nechť I je projektivní R-modul. Pak podle věty1.16 existuje množina(a_t)_t∈T prvků z ideálu I a systém (f_t)_t∈T homomorfismů R-modulů f_t: I→R takových, že pro libovolnéx∈I je jen konečně mnohot∈T takových, že f_t(x)6=0, a platí

x=

∑

t∈T

f_t(x)a_t.

Přitom pro libovolnét∈T a libovolná nenulováx,y∈I⊆Rplatí y f_t(x) = f_t(xy) =x f_t(y).

Tedy f_t(x)x⁻¹ = f_t(y)y⁻¹ ∈K. Pro každé t ∈T položme x_t = f_t(x)x⁻¹ pro libovolné nenulové x∈I. Jak jsme ukázali, tato x_t nezávisí na volbě x a navíc platí x_tI⊆R, tedy x_t ∈I⁰. Pro pevné nenulovéx∈Ije jen konečně mnoho sčítanců

x=

∑

t∈T

f_t(x)a_t, nenulových. Příslušné indexy označmet₁, . . . ,t_na pišme

x=

∑

t∈T

f_t(x)a_t =

n

∑

i=1

f_ti(x)a_ti=

n

∑

i=1

xx_tia_ti =x

n

∑

i=1

x_tia_ti.

Vykrácením (jsme v oboru integrity)xzískáme 1=

n i=1

∑

x_tia_ti,

– 48 –

kdea_ti ∈Iax_ti∈I⁰. CelkemR⊆II⁰. Lemma2.8dává, žeIje invertibilní.

Podle věty1.16jeIprojektivní.

Důsledek 4.2. V každém Dedekindově okruhu jsou všechny jeho ideály projektivní.

Důkaz. Zřejmý, vždyť každý ideál Dedekindova okruhu je invertibilní.

Lemma 4.3. Buď R obor integrity a M konečně generovaný R-modul bez torze. Pak M je izomorfní s podmodulem konečně generovaného volného modulu.

Důkaz. ProtožeRje obor integrity, jeS=R\ {0}jeho multiplikativní podmnožina. Označ-meK=S⁻¹Rjeho podílové těleso aN=S⁻¹M. Protože jeMbez torze, je podle věty3.4

ϕ: M→N, ϕ: m7→ m

1 injektivní homomorfismusR-modulů.

Protože závislosti prvků moduluMse přenesou i do moduluN, generují obrazy gene-rátorůM i modulN jakoK-modul. ProtožeMje konečně generovanýR-modul, jeN jako vektorový prostor nad tělesemKkonečné dimenze. Označmex₁, . . . ,x_mobrazy generátorů moduluMv zobrazeníϕ ay₁, . . . ,y_nbázi vektorového prostoruN(nutněm≥n). Uvažme

Lemma 4.4. Nechť R je Dedekindův okruh. Jestliže je M konečně generovaný R-modul obsažený ve volném R-modulu F, pak je M izomorfní s přímým součtem konečného počtu ideálů okruhu R.

Důkaz. Je-liMkonečně generovanýR-modul obsažený ve volnémR-moduluF, pak každý generátorM lze vyjádřit pomocí konečně mnoha volných generátorůF. Proto M leží do-konce v konečně generovaném volném modulu. Důkaz budeme provádět indukcí vzhledem k počtu generátorů konečně generovaného volného modulu.

Pron=0 jeMnulový modul a tvrzení je zřejmé.

Nechť je pevně dáno n∈N takové, že tvrzení platí pro všechny moduly, které jsou obsaženy ve volném R-modulu volně generovaném n−1 generátory. Buď M konečně generovanýR-modul obsažený ve volnémR-moduluF_nsngenerátoryx₁, . . . ,x_n. Označme F_n−1volnýR-modul generovanýx₁, . . . ,x_n−1. Každý prvekm∈Mlze napsat jako

m=

n i=1

∑

r_nx_n

pro vhodná r_i ∈R. Protože x₁, . . . ,x_n generují F_n volně, je zobrazení f: M →R dané předpisem f(m) =r_nhomomorfismusR-modulů. Protože posloupnost

0→kerf →^⊆ M→^f imf →0

je exaktní a imf je podle tvrzení 1.2 podmodul modulu R, tedy ideál vR, je imf podle předpokladu projektivní. Z věty1.15dostáváme, že

M∼=imf⊕kerf.

Odtud plyne, že kerf je konečně generovanýR-modul (je generován obrazy generátorůM v projekci na druhou složku). Jistě kerf ⊆F_n−1. Proto pro kerf platí indukční předpoklad a dá se tedy zapsat jako přímý součet konečného počtu ideálů.

Lemma 4.5. Nechť R je Dedekindův okruh, K jeho podílové těleso. Ideály I,J okruhu R jsou izomorfní jako R-moduly právě tehdy, když existuje a∈K\ {0}takové, že J=aI.

Důkaz. Je-li některý z ideálů nulový, je tvrzení zřejmé. Předpokládejme tedy, že oba jsou nenulové.

„⇒“: Je-li f: I →J izomorfismus, pak pro libovolné nenulové prvky x,y∈I platí x f(y) = f(xy) =y f(x), tedy f(x)x⁻¹= f(y)y⁻¹. Položme a= f(x)x⁻¹, přitom a∈K nezávisí na volběx. Odtud dostáváme, že f(x) =ax, což jsme chtěli dokázat.

„⇐“: Je-liJ=aI pro nenulovéa∈K, je zřejměJ∼=I.

Důsledek 4.6. Nechť R je Dedekindův okruh, K jeho podílové těleso. Lomené ideály I,J okruhu R jsou izomorfní jako R-moduly právě tehdy, když existuje a∈K\ {0}takové, že J=aI.

Důkaz. „⇐“: Zřejmé.

„⇒“: Nechť I ∼=J. Protože I,J jsou lomené ideály, existují nenulové prvky r,s∈R takové, žerI asJjsou (celé) ideály okruhuR. Přitom zřejměrI∼=IasJ∼=J, tedyrI∼=sJ.

Z lemmatu4.5dostáváme, že existuje nenulovéa∈Ktakové, žesJ=arI, tedyJ= (ars⁻¹)I, kde jistě 06=ars⁻¹∈K.

Lemma 4.7. Nechť R je Dedekindův okruh, I₁,I₂. . . ,I_mjeho lomené ideály. Pak I₁⊕I₂⊕ · · · ⊕I_m∼=R^m−1⊕I₁I₂. . .I_m.

Důkaz. Díky důsledku4.6můžeme předpokládat, žeI₁, . . . ,I_mjsou nenulové (celé) ideály okruhuR, vždyť každý lomený ideálI_imůžeme nahradit celým ideálemr_iI_ipro vhodné ne-nulovér_i∈R, který je sI_iizomorfní. Jistě pak(r₁I₁). . .(r_mI_m) =r₁. . .r_mI₁. . .I_m∼=I₁. . .I_m.

Ukažme nejprve, že pro libovolné nenulové ideályJ₁,J₂platí J₁⊕J₂∼=R⊕J₁J₂.

Je-li některý z ideálů J₁,J₂ rovenR, je tvrzení zřejmé. Nechť jsou tedy oba různé od R.

Nejprve ukážeme, že existuje ideál ¯J₁, který je izomorfní s J₁ jako R-modul a který je nesoudělný sJ₂.

Z důsledku 2.30 dostáváme existenci ideálu A⊆R takového, že (A,J₁J₂) =R a AJ₁ je hlavní, tedyAJ₁=aRpro nějaké nenulovéa∈R. Uvažme rozklad ideálu A na součin prvoideálů A=P₁^a1. . .P_s^as. Vyberme b∈R tak, že b∈P_i^ai\P_i^ai+1 pro každé i=1, . . . ,s ab≡1 (modQ)pro každý prvoideálQdělícíJ₂. To lze díky nesoudělnostiAaJ₂pomocí čínské zbytkové věty (důsledek2.27). Jistěb6=0. Víme, žeb∈A, což nastává právě tehdy, kdyžbR⊆A. To podle věty2.23znamená, žeA|bR, tj. existuje nenulový ideál ¯J₁takový, že AJ¯₁=bR. Protožeb≡1 (mod Q)pro libovolný ideálQdělícíJ₂, je(J¯₁,J₂) =R. Protože aR=AJ₁abR=AJ¯₁, dostáváme

aJ¯₁=AJ₁J¯₁=bJ₁, tedyab⁻¹J¯₁=J₁. Podle důsledku4.6jeJ₁∼=J¯₁.

Uvažme nyní krátkou exaktní posloupnost

0→J¯₁∩J₂→J¯₁⊕J₂→J¯₁+J₂→0, x7→ (x,x)

(u,v)7→u−v

Protože ¯J₁aJ₂jsou nesoudělné, je podle věty2.23J¯₁J₂=J¯₁∩J₂a ¯J₁+J₂=R. Dostáváme tedy následující krátkou exaktní posloupnost

0→J¯₁J₂→J¯₁⊕J₂→R→0, kdeRje projektivníR-modul, což podle věty1.15znamená, že

R⊕J¯₁J₂∼=J¯₁⊕J₂. ProtožeJ₁=ab⁻¹J¯₁, dostáváme

R⊕J₁J₂=R⊕ab⁻¹J¯₁J₂∼=R⊕J¯₁J₂∼=J¯₁⊕J₂=a⁻¹bJ₁⊕J₂∼=J₁⊕J₂. Zbytek důkazu povedeme indukcí vzhledem km.

Pokudm=1, je tvrzení zřejmé.

Nechťm>1 a nechť tvrzení platí pro přímý součetm−1 ideálů, tj.

I₁⊕ · · · ⊕I_m−1∼=R^m−2⊕I₁. . .I_m−1.

Pak jistě

I₁⊕ · · · ⊕I_m−1⊕I_m∼=R^m−2⊕I₁. . .I_m−1⊕I_m. Z předchozího dostáváme

I₁. . .I_m−1⊕I_m∼=R⊕I₁. . .I_m−1I_m, tedy

I₁⊕ · · · ⊕I_m∼=R^m−1⊕I₁. . .I_m, což jsme chtěli dokázat.

Na začátku3. kapitoly jsme uvedli, že každý konečně generovaný modul M nad De-dekindovým okruhem půjde napsat jako přímý součet jeho torzního podmodulu a nějakého modulu, který je bez torze. Toto tvrzení dokážeme v následující větě, přičemž hledaným modulem bez torze bude faktormodul M/Tor(M). S pomocí lemmat 4.4 a 4.7 budeme navíc schopni popsat tvar moduluM/Tor(M).

Věta 4.8. Nechť R je Dedekindův okruh, M konečně generovaný R-modul aTor(M)jeho torzní podmodul. Pak

M∼=R^k⊕I⊕Tor(M), kde k∈N0a I je vhodný ideál okruhu R.

Důkaz. NechťMje konečně generovaný modul nad Dedekindovým okruhem. Pak M₁=M/Tor(M)

je podle části2 tvrzení 1.11 bez torze. PřitomM₁ je jistě generovaný obrazy generátorů Mv projekci na faktormodul, je tedy konečně generovaný. Díky lemmatu4.3jsou proM₁ splněny předpoklady lemmatu4.4a platí

M₁∼=I₁⊕ · · · ⊕I_m.

Protože ideály jsou podle důsledku4.2projektivní a přímý součet projektivních modulů je podle tvrzení1.13projektivní, jeM₁projektivníR-modul. Posloupnost

0→Tor(M)→M→M₁→0 je jistě exaktní, což podle věty1.15znamená, že

M∼=Tor(M)⊕M₁∼=Tor(M)⊕I₁⊕ · · · ⊕I_m,

kde I₁, . . . ,I_m jsou ideály v R, přitom bez újmy na obecnosti předpokládejme, že jsou

nenulové. Jsou to tedy lomené ideály a z lemmatu4.7dostáváme, že M∼=Tor(M)⊕R^m−1⊕I₁. . .I_m.

V předchozí kapitole jsme jednoznačně popsali strukturu modulu Tor(M). Zbývá tedy zodpovědět otázku jednoznačnosti modulu M/Tor(M). To je předmětem následujícího lemmatu.

Lemma 4.9. Nechť R je Dedekindův okruh a M₁,M₂jsou konečně generované R-moduly bez torze takové, že

M₁=I₁⊕ · · · ⊕I_m, M₂=J₁⊕ · · · ⊕J_n,

kde I₁, . . . ,I_m,J₁, . . . ,J_njsou lomené ideály okruhu R. Pak M₁∼=M₂právě tehdy, když m=n a existuje nenulové a∈K takové, že

I₁. . .I_m=aJ₁. . .J_n, kde K je podílové těleso okruhu R.

Důkaz. „⇐“: Z lemmatu4.7dostáváme, že

M₁∼=R^m−1⊕I₁. . .I_m, M₂∼=Rⁿ⁻¹⊕J₁. . .J_n,

NechťI je libovolný lomený ideál okruhu R. Zvolme libovolný nenulový prvekx∈I.

Pakx⁻¹I je lomený ideál, který je podle důsledku4.6 izomorfní s I, přitom 1∈x⁻¹I, tj.

R⊆x⁻¹I. Pro libovolný lomený ideál tedy existuje lomený ideál s ním izomorfní, který obsahujeR. Můžeme proto předpokládat, že ideályI₁, . . . ,I_m,J₁, . . . ,J_nobsahujíR.

Označme

ϕ: I₁⊕I₂⊕ · · · ⊕I_n→J₁⊕J₂⊕ · · · ⊕J_n izomorfismusR-modulů. Proi∈ {1,2, . . . ,n}označme

ϕ((0, . . . ,0,1,0, . . .0)) = (a_1,i,a_2,i, . . . ,a_n,i)∈J₁⊕J₂⊕ · · · ⊕J_n,

kde se 1∈I_i na levé straně rovnosti nachází na i-té pozici. Protože ϕ je izomorfismus R-modulů, je

J_j=a_j,1I₁+a_j,2I₂+· · ·+a_j,nI_n

pro každé j∈ {1,2, . . . ,n}. Nechť Sn značí grupu permutací množiny {1,2, . . . ,n}. Pro libovolnou permutaciτ ∈Snplatí

(a_τ(1),1a_τ(2),2. . .a_τ(n),n)I₁I₂. . .I_n⊆J₁J₂. . .J_n.

kdep(σ)∈ {±1}značí paritu permutaceσ. Dostáváme dI₁I₂. . .I_n⊆J₁J₂. . .J_n, vždyť tato inkluze platí pro každý sčítanecd.

Podobně pro j∈ {1,2, . . . ,n}označme

ϕ⁻¹((0, . . . ,0,1,0, . . . ,0)) = b_1,j,b_2,j, . . . ,b_n,j

∈I₁⊕I₂⊕ · · · ⊕I_n, kde se 1∈J_j je na levé straně rovnosti nachází na j-té pozici. Součin matic b_i,j

a a_i,j je jednotková matice. Nutně je tedyd 6=0 a determinant matice b_i,j

=d⁻¹. Podobnou

Věta 4.10. Nechť R je Dedekindův okruh, M konečně generovaný R-modul. Pak M∼=R^k⊕I⊕Tor(M), jsou dány jednoznačně (až na pořadí). Ideál I je dán jednoznačně až na násobek hlavním lomeným ideálem okruhu R.

Důkaz. Plyne z vět3.13a4.8a lemmatu4.9.

Důsledek 4.11. Nechť R je okruh hlavních ideálů, M konečně generovaný R-modul. Pak M∼=R^k⊕Tor(M), jsou dány jednoznačně (až na pořadí).

Důkaz. Plyne přímo z lemmatu 4.5 a věty 4.10, vždyť každý nenulový ideál I v okruhu hlavních ideálůRje izomorfní sRjakoR-modul.

Důsledek 4.12. Nechť G je konečně generovaná komutativní grupa. Pak G∼=Z^r⊕ Z/p^e₁¹Z,+

⊕ · · · ⊕(Z/p^e_s^sZ,+),

kde r∈N0, p₁, . . . ,p_s jsou ne nutně různá prvočísla a e_i ∈N. Tento rozklad je určen jednoznačně (až na pořadí).

Důkaz. Plyne z důsledku4.11, vždyť komutativní grupy jsou právěZ-moduly aZje okruh hlavních ideálů.

[1] DUMMIT, David S. a FOOTE, Richard M.Abstract algebra. 3rd ed. Hoboken, N.J.:

John Wiley, 2004. ISBN 04-714-3334-9.

[2] IGUSA, Kiyoshi.Algebra I: Part B: Rings and Modules[online]. Waltham, Massa-chusetts: Brandeis University, 2007, s. 36-45 [cit. 2016-04-25]. Dostupné z:http:

//people.brandeis.edu/~igusa/Math101aF07/Math101a_notesBall.pdf [3] KATO, Makoto. Discrete valuation ring associated with a prime ideal of a Dedekind

domain. In: Stack Exchange [online]. 2012 [cit. 2016-04-24]. Dostupné z: http:

//math.stackexchange.com/q/183507

[4] MEDKOVÁ, Jana.Moduly nad okruhy hlavních ideálů[online]. Brno: Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta, 2010 [cit. 2015-09-25]. Dostupné z:http://is.

muni.cz/th/251365/prif_b/.

[5] NARKIEWICZ, Wladyslaw.Elementary and analytic theory of algebraic numbers.

2nd ed. Warszawa: PWN, 1990. Chapter I, Dedekind rings and valuations.

[6] ROSICKÝ, Jiří.Algebra. Vyd. 4., přeprac. Brno: Masarykova univerzita, 2002. ISBN 80-210-2964-1.

[7] VOKŘÍNEK, Lukáš.Algebraická geometrie[online]. Brno: Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta, 2014 [cit. 2016-04-20]. Dostupné z: http://www.math.

muni.cz/~koren/ag.pdf.

– 55 –

In document B 2016D V Diplomovápráce MASARYKOVAUNIVERZITA (Stránka 51-0)