Lokalizace

V této části budeme budeme vycházet z [1,7].

Definice. NechťRje okruh. Řekneme, žeS⊆Rjemultiplikativní podmnožina, jestliže 1. 1∈S,

2. pro všechnaa,b∈Splatía·b∈S.

Definice. Nechť R je komutativní okruh, S⊆ R jeho multiplikativní podmnožina. Na množiněR×Sdefinujeme relaci ekvivalence∼předpisem

(r₁,s₁)∼(r₂,s₂) ⇔ ∃s∈S: s(r₁s₂−r₂s₁) =0.

RozkladR×S podle ekvivalence ∼budeme značitS⁻¹R. Třídu obsahující(r,s)budeme značit ^r_s. Na množiněS⁻¹Rzavedeme operace+a·následujícím předpisem:

r₁

MnožinaS⁻¹Rtvoří spolu s těmito operacemi komutativní okruh, který budeme nazývat lokalizací okruhu R vzhledem k množině S.

Důkaz korektnosti definice. Ukažme nejprve, že relace ∼je skutečně relací ekvivalence.

Zřejmě je reflexivní a symetrická. Zbývá ukázat tranzitivitu.

Nechť(r₁,s₁)∼(r₂,s₂)a(r₂,s₂)∼(r₃,s₃), existují tedys,t ∈Stakové, že sr₁s₂=sr₂s₁, tr₂s₃=tr₃s₂.

ProtožeSje multiplikativní, je ists₂∈S. Dostáváme

sts₂(r₁s₃) =ts₃(sr₁s₂) =ts₃(sr₂s₁) =ss₁(tr₂s₃) =ss₁(tr₃s₂) =sts₂(r₃s₁), tedysts₂(r₁s₃−r₃s₁) =0, což znamená, že(r₁,s₁)∼(r₃,s₃).

Nyní zbývá ukázat, že definované operace zadávají naS⁻¹Rstrukturu okruhu.

Nejprve dokažme korektnost obou operací: nechť ^r_s¹

1 = ^r01 To z definice relace∼nastává právě tehdy, když existujes∈Stakové, že

s (r₁s₂+r₂s₁)s⁰₁s⁰₂− r₁⁰s⁰₂+r⁰₂s⁰₁ s₁s₂

=0, respektive s r₁r₂s⁰₁s⁰₂−r⁰₁r₂⁰s₁s₂

=0.

Víme, že existujít₁,t₂∈Stakové, že respektive (stejnou volbous∈S)

sr⁰₁r₂⁰s₁s₂= (t₁r₁⁰s₁)(t₂r₂⁰s₂) = (t₁r₁s⁰₁)(t₂r₂s⁰₂) =sr₁r₂s⁰₁s⁰₂,

což v obou případech po převedení na jednu stranu dává dokazovanou podmínku. Obě operace jsou tedy definovány korektně.

• Asociativita plyne z asociativity násobení prvků zR.

• Komutativita plyne z komutativity násobení prvků zR.

• Neutrální prvek vzhledem k operaci·je ¹₁, vždyť

Zbývá ukázat, že operace+ a·jsou svázány distributivními zákony (díky komutativitě · stačí ukázat jeden).

Lokalizace okruhu R vzhledem k množině S je tedy vlastně okruh zlomků, kde možní jmenovatelé jsou právě prvky množinyS.

• Všimněme si, že v konstrukci podílového tělesa definujeme příslušnou relaci ekvi-valence předpisem

(a,b)∼(c,d) ⇔ ad=bc.

To lze proto, že se při konstrukci podílového tělesa nacházíme v oboru integrity a množina S neobsahuje nulu. Můžeme tedy prvky množiny S krátit. S touto de-finicí bychom v případě obecného komutativního okruhu R a jeho multiplikativní podmnožinySnebyli schopni dokázat tranzitivitu relace∼.

• NechťRje komutativní okruh. PakS⁻¹R={0}právě tehdy, když 0∈S.

„⇒“:(1,1)∼(0,1), existuje tedys∈Stakové, žes(1·1−0·1) =s=0.

„⇐“: Nechť(r₁,s₁),(r₂,s₂)∈R×S, pak(r₁,s₁)∼(r₂,s₂), vždyť 0·(r₁s₂−r₂s₁) =0.

Z tohoto důvodu se někdy přímo v definici multiplikativní podmnožiny předpokládá, že nulu neobsahuje.

Věta 3.2. Nechť R je netriviální komutativní okruh, S jeho multiplikativní podmnožina neobsahující nulu a S⁻¹R lokalizace okruhu R vzhledem k množině S. Pak zobrazení

λ: R→S⁻¹R, λ: r→ r

1 je homomorfismus okruhů. Navíc platí, že

1. λ je injektivní právě tehdy, když S⊆R neobsahuje nulu ani žádného dělitele nuly okruhu R.

2. Nechť S neobsahuje nulu ani žádného dělitele nuly, pakλ je surjektivní právě tehdy, když S obsahuje pouze jednotky okruhu R.

Důkaz. Buďtea,b∈Rlibovolné, pak Jedná se tedy o homomorfismus okruhů.

1. Nechťa∈kerλ. To nastává právě tehdy, když(a,1)∼(0,1), tj. existujes∈Stakové,

Poznámka. Jestliže S neobsahuje nulu ani dělitele nuly, budeme okruh R chápat jako podokruh okruhuS⁻¹R.

Lokalizací dostáváme univerzální objekt mezi všemi homomorfismy okruhů vycházejí-cími zRtakovými, že obraz každého prvkus∈Sje jednotka. Přesně tuto vlastnost popisuje následující věta.

Věta 3.3. Buď R komutativní okruh a S jeho multiplikativní podmnožina. Nechťϕ: R→T je homomorfismus okruhů takový, žeϕ(r)∈T je jednotka pro každé r∈S. Pak existuje jediný homomorfismus okruhůψ: S⁻¹R→T takový, žeϕ=ψ◦λ.

Důkaz. Chceme tedy ukázat, že existuje jediné zobrazeníψ takové, aby komutoval násle-dující diagram

=ϕ(r)ϕ(s)⁻¹. Zbývá ukázat, že toto zobrazení je dobře definovaný homomorfismus okruhů. Ukažme nejprve, že je dobře definované. Nechť ^r_s¹

1 = ^r_s²

2, tj. existujes∈Stakové, žes(r₁s₂−r₂s₁) =0. Aplikujeme homomorfismusϕ a dostáváme

ϕ(s) (ϕ(r₁)ϕ(s₂)−ϕ(r₂)ϕ(s₁)) =0.

Protožeϕ(s)je jednotka, můžeme obě strany rovnice vynásobit její inverzí. Odtud dostá-váme

ϕ(r₁)ϕ(s₁)⁻¹=ϕ(r₂)ϕ(s₂)⁻¹

Dále chceme ukázat, že se jedná o homomorfismus okruhů.

Zobrazeníψ je tedy hledaným homomorfismem okruhů.

Poznámka. Nyní pojem lokalizace zobecníme na moduly. Výše jsme lokalizovali libo-volný komutativní okruhRpomocí jeho multiplikativní podmnožinyS, abychom obdrželi okruhS⁻¹R. Nyní budeme lokalizovat libovolnýR-modulM, čímž získámeS⁻¹R-modul S⁻¹M.

Definice. Nechť Rje komutativní okruh, S⊆Rjeho multiplikativní podmnožina a M je R-modul. Na množiněM×Sdefinujeme relaci ekvivalence∼předpisem

(m₁,s₁)∼(m₂,s₂) ⇔ ∃s∈S: s(s₁m₂−s₂m₁) =0.

RozkladM×S podle∼ budeme značit S⁻¹M. Třídu obsahující (m,s)budeme značit ^m_s. Na této množině zavedeme strukturuS⁻¹R-modulu:

m

Poznámka. Korektnost předchozí definice se ukáže zcela analogicky jako korektnost de-finice lokalizace okruhu. Snadno se rozmyslí, že výše definovaná operace + nám spolu s násobením prvky ^r_s ∈S⁻¹Rskutečně dává strukturuS⁻¹R-modulu.

Věta 3.4. Nechť R je komutativní okruh, S jeho multiplikativní podmnožina neobsahující nulu ani dělitele nuly. Nechť M je R-modul bez torze a S⁻¹M je S⁻¹R-modul. Pak

ProtožeS neobsahuje nulu ani dělitele nuly, lze R ztotožnit s podokruhem S⁻¹R. Buďte m,n∈Mar∈Rlibovolné, pak

Nechťm∈kerϕ, pak ^m₁ =⁰₁, existuje tedys∈Stakové, žesm=0. ProtožeMje bez torze as6=0, je nutněm=0. Homomorfismusϕ je tedy injektivní.

Definice. Nechť R je komutativní okruh a P jeho prvoideál. Lokalizací okruhu R v pr-voideálu Prozumíme lokalizaci okruhuR vzhledem k podmnožiněR\P. Vzniklý okruh značímeR_P.

Poznámka. Uvědomme si, že definice je korektní, vždyť množinaR\Pje multiplikativní, protožePje prvoideál. Je-li navícRobor integrity, můžeme okruhR_Pchápat jako podokruh podílového tělesa okruhu R, který obsahuje R, vždyť zobrazení ψ z věty 3.3 je v tomto případě injektivní (zřejmě kerψ ={0}) aλ je injektivní podle věty3.2.

Definice. Diskrétní valuací na těleseKrozumíme funkciν: K\ {0} →Z, která splňuje 1. ν je surjektivní,

2. ν(xy) =ν(x) +ν(y)pro všechnax,y∈K\ {0},

3. ν(x+y)≥min{ν(x),ν(y)}pro všechnax,y∈K\ {0}taková, žex+y6=0.

Okruh{x∈K\ {0} |ν(x)≥0} ∪ {0}se nazývávaluační okruhvaluaceν.

Obor integrityRnazvemeokruhem s diskrétní valuací, jestliže jeRvaluačním okruhem nějaké diskrétní valuace definované na jeho podílovém tělese.

Důkaz korektnosti definice. Potřebujeme ukázat, žeR={x∈K\ {0} |ν(x)≥0} ∪ {0}je okruh.

Zřejmě ν(1) =ν(1·1) = ν(1) +ν(1), tedy ν(1) =0, a proto 1∈R. Podobně platí ν(−1·(−1)) = 2ν(−1) = 0, tedy −1 ∈R. Pokud jsou a,b∈R\ {0}, pak ν(a)≥ 0 aν(b)≥0, proto iν(ab) =ν(a) +ν(b)≥0, tedyab∈R. Podobným způsobem dostáváme ν(a+b)≥min{ν(a),ν(b)} ≥0, tedya+b∈R.

Poznámka. V definici okruhuRs diskrétní valuací vyžadujeme existenci libovolné valuace na podílovém tělese takové, že R je jejím valuačním okruhem. Ukážeme, že příslušná diskrétní valuace existuje jediná a je okruhem Rjednoznačně určena. K tomu nám bude stačit následující lemma.

Lemma 3.5. Nechť R je okruh s diskrétní valuacíν. Nechť t ∈R je takový, že ν(t) =1.

Pak platí

1. Nenulový prvek u∈R je jednotkou právě tehdy, kdyžν(u) =0.

2. Každý nenulový prvek r∈R lze napsat ve tvaru r=utⁿpro vhodnou jednotku u∈R, kde n=ν(r)∈N0.

3. Každý nenulový ideál okruhu R je hlavní ideál tvaru tⁿR pro vhodné n∈N₀. Důkaz.

1. „⇒“: Nechťu∈Rje jednotka. Pak existujev∈Rtakové, žeuv=1, odtud dostáváme 0=ν(uv) =ν(u) +ν(v), což z nezápornostiν na prvcích okruhuRdáváν(u) =0.

„⇐“: Nechť u∈R je nenulový prvek takový, že ν(u) =0. Pak u⁻¹∈K splňuje 0=ν uu⁻¹

=ν(u) +ν u⁻¹

=ν u⁻¹

, tedyu⁻¹∈R.

2. Jistěν(rt⁻ⁿ) =0, což podle1znamená, žert⁻ⁿ=u, kdeuje nějaká vhodná jednotka okruhuR. Vynásobenímtⁿdostávámer=utⁿ.

3. Nechť I je nenulový ideál okruhu R ar∈I je prvek, pro který je ν(r)minimální.

Označmeν(r) =n, pak podle2platír=utⁿ, kdeu∈Rje jednotka. PrototⁿR⊆I.

Je-li nenulové a∈I, pakν(a)≥ndíky volbě n. Pakν(at⁻ⁿ)≥0, tedy at⁻ⁿ∈R, což znamená, žea∈tⁿR. OdtudtⁿR=I.

Poznámka. Všimněme si, že poslední část předchozího lemmatu říká nejen, že každý okruh s diskrétní valuací je okruhem hlavních ideálů, ale také, žeRmá jediný maximální ideál tR, který je zároveň jediným nenulovým prvoideálem.

Nyní už snadno nahlédneme, že valuaceνje určena jednoznačně. Jistě jeRDedekindův okruh, vždyť je okruhem hlavních ideálů. NechťK je jeho podílové těleso aPjeho jediný nenulový prvoideál. Nechť 06=x∈Kje libovolné, pak podle důsledku2.22můžeme uvážit rozklad lomeného ideáluxRna součin prvoideálů, dostávámexR=Pⁿ pro nějakén∈Z. Zřejmě musíme položitν(x) =n.

Definice. NechťRje Dedekindův okruh,Kjeho podílové těleso. Buď dálex∈Klibovolný nenulový prvek, uvažme

xR=

∏

(0)⊂P Pje prvoideál

P^e(P)

rozklad lomeného ideáluxRna součin prvoideálů. NechťPje nenulový prvoideál okruhuR.

Diskrétní valuací příslušnou prvoideálu Prozumíme diskrétní valuaciν_Pdanou předpisem ν_P(x) =e(P).

Důkaz korektnosti definice. Protožex6=0, jexRlomený ideál. Ten lze podle důsledku2.22 jednoznačně rozložit na prvoideály. Funkceν_P je tedy dobře definovaná. Ověřme, že se skutečně jedná o diskrétní valuaci.

1. Uvažmeπ ∈P\P², pakν_P(πⁿ) =npron∈Z,ν_Pje tedy surjektivní.

2. Vlastnostν(xy) =ν(x) +ν(y)plyne z důsledku2.22.

3. Jistě (x+y)R⊆xR+yR. Podle části 1 věty 2.23 existuje ideál Q⊆R takový, že (x+y)R= (xR+yR)Q. ProtožeQ⊆R, je exponent uPv rozkladuQna prvoideály nezáporný. BuďI⊆Rideál takový, žexQIiyQIjsou ideály okruhuR. Podle části4 věty 2.23 platíxQI+yQI= (xQI,yQI). Uvažme rozkladxQI a yQI na prvoideály a označmee_xae_ymocniny, ve kterých se nacházíPv těchto rozkladech. Pak mocnina prvoideáluPv rozkladuxQI+yQIna prvoideály je rovna min{e_x,e_y}. Vynásobením I⁻¹dostávámeν(x+y)≥min{ν(x),ν(y)}.

Věta 3.6. Nechť R je Dedekindův okruh, P jeho nenulový prvoideál a K jeho podílové těleso. Nechťν_P: K\ {0} →Zje diskrétní valuace příslušná prvoideálu P. Pak valuačním okruhem valuaceνP je okruh R_P(chápeme-li tento jako podokruh podílového tělesa K).

Důkaz této věty přejímáme z [3].

Důkaz. Nechťπ∈P\P². Buďr∈R\ {0}libovolný prvek. Označmeν_P(r) =n. Nejprve ukážeme, žer= ^π_s^nt pro vhodnás,t∈R\P.

Z věty2.20dostáváme vyjádřenírR=PⁿI, kdePnedělíI, aπⁿR=PⁿJ, kdePnedělí J. Podle čínské zbytkové věty (důsledek2.27) existuje řešenís∈Rsoustavy

s≡0 (mod J), s≡1 (modP).

PotomsR=JMpro nějaký ideálM, který není dělitelnýP. Protože ^r

πⁿR=IJ⁻¹, platí sr

πⁿR=sIJ⁻¹=JMIJ⁻¹=MI,

odtud srR=πⁿMI, tedy sr =πⁿt pro nějaké t ∈MI\P (jistě t ∈/ P, vždyť ν_P(r) = n aν_P(s) =0). To dává rovnostr= ^π_s^nt.

Buď dále α ∈K\ {0}, tj.α = ^a_b pro nějaké prvkya,b∈R\ {0}. Nechť ν_P(α) =m.

Z předchozí části dostáváme vyjádření a= π^m1t₁

s₁ , b=π^m2t₂ s₂ , kdet₁,t₂,s₁,s₂∈R\P,m₁−m₂=m. Proto

α = π^m1t₁s₂

π^m2t₂s₁ = π^mt₁s₂ t₂s₁ , tedyα ∈R_Pprávě tehdy, kdyžν_P(α)≥0.

Důsledek 3.7. Nechť R je Dedekindův okruh, P jeho prvoideál. Pak R_P je okruh hlavních ideálů.

Důkaz. Je-li P={0}, pak je R_P podílové těleso okruhu R. V opačném případě je R_P podle věty3.6 okruhem s diskrétní valuací, a tedy podle lemmatu3.5 okruhem hlavních ideálů.

Poznámka. Nechť R je Dedekindův okruh, P jeho prvoideál. Pak lze R podle věty 3.2 chápat jako podokruhR_P. ProtožeP^eje ideál okruhuRaR_Pmůžeme chápat jakoR-modul, jeP^eR_PtakéR-modul. PřitomP^eR_p⊆R_pmá jistě též strukturuR_Pmodulu, je to tedy ideál okruhuR_P.

Předpokládejme navíc, že P je nenulový prvoideál. Pak je podle předchozí věty R_P valuačním okruhem valuace ν_P. IdeálP^eR_P obsahuje právě ty prvky, jejichž valuace je alespoňe. Podle lemmatu3.5jeP^eR_Pprávěe-tou mocninou jediného maximálního ideálu okruhuR_P.

Věta 3.8. Nechť R je Dedekindův okruh, P jeho nenulový prvoideál, pak R/P^e∼=R_P/P^eR_P,

kde výše uvedený izomorfismus je izomorfismus okruhů indukovaný vnořením R→R_P.

Důkaz. Uvažme vnořeníλ: R→R_P z věty 3.2 aπ: R_P→R_P/P^eR_P projekci na faktor-okruh. To lze, vždyťP^eR_Pje podle předchozí poznámky ideál okruhuR_P. Položmeϕ=π λ. Jistě se jedná o homomorfismus okruhů. Dostáváme následující komutativní diagram:

R ^{ λ //}

ϕ ##

R_P

π

R_P/P^eR_P Ukažme, že kerϕ=P^e.

„⊆“: Buď p∈kerϕ, tedy ^p₁ ∈kerπ =P^eR_P. Můžeme proto psát p=q·^s_t, kde q∈P^e a ^s_t ∈R_P. Zejménapt=qs, kdet∈R\P. Uvažme hlavní ideály generované těmito prvky.

DostávámeqsR= ptR=pR·tR. PřitomPnedělítR. Protožeq∈P^eas∈R, musíP^edělit ptR, proto dělí ipR, tedy p∈P^e.

„⊇“: Buďr∈P^e, pakλ(r) =^r₁=r·¹₁∈P^eR_P, tedyλ(r)∈kerπ, což znamená, žer∈kerϕ.

Dále ukažme, žeϕ je surjektivní.

Buďα+P^eR_P∈R_P/P^eR_Plibovolný prvek. Označmeα= ^a_b, kdea∈R,b∈R\P. JistěP nedělíbR. Soustava

x≡ −a (modbR), x≡ 0 (modP^e)

má podle čínské zbytkové věty (důsledek2.27) řešeníx, jistěx∈P^e. Zejména tedy^x_b∈P^eR_P. Dostáváme

a b+x

b =ab+xb

b² = a+x b ,

přitoma+x∈bR, existuje tedyq∈Rtakové, žea+x=bq, odtud a

b+P^eR_P= a+x

b +P^eR_P= bq

b +P^eR_P= q

1+P^eR_P. Protoϕ(q) =α+P^eR_P,ϕ je tedy surjektivní.

Z první věty o izomorfismu pro okruhy dostáváme požadované tvrzení R/kerϕ =R/P^e∼=R_P/P^eR_P.

3.2 Konečně generované torzní moduly nad okruhy s

In document B 2016D V Diplomovápráce MASARYKOVAUNIVERZITA (Stránka 43-51)