Dělitelnost ideálů, kongruence, čínská zbytková věta

Nebude-li řečeno jinak, bude v této částiRznačit Dedekindův okruh. Z věty2.20víme, že každý ideálI6=RokruhuRlze zapsat jako součin prvoideálů. Pokud je navícI6= (0), je tento součin dán jednoznačně (až na pořadí činitelů). Dává proto smysl rozšířit pojem dělitelnosti, největšího společného dělitele a nejmenšího společného násobku na ideály.

Definice. BuďRDedekindův okruh,A,Bjeho ideály.

1. Řekneme, že ideálB dělíideálA(téžA je dělitelný B), jestliže existuje ideálCtakový, žeA=BC.

2. Největším společným dělitelem ideálů A, B rozumíme ideál, který dělí A i B a je dělitelný každým ideálem s touto vlastností, značíme jej(A,B).

3. Nejmenším společným násobkemideálůA,Brozumíme ideál, který je dělitelnýAiB a dělí každý ideál s touto vlastností, značíme jej[A,B].

4. Řekneme, že ideályA,Bjsounesoudělné, jestliže(A,B) =R.

Poznámka. Existence a jednoznačnost výše definovaných pojmů plyne z jednoznačnosti zápisu každého nenulového ideálu na součin prvoideálů.

Příklad. Ukažme si, že dělitelnost ideálů má stejné vlastnosti, na jaké jsme zvyklí u celých čísel. Pojem dělitelnosti ideálů v Dedekindových okruzích tedy zobecňuje pojem dělitelnosti čísel vZ.

Nechť A,B jsou nenulové ideály, A=∏_PP^a(P) a B=∏_PP^b(P) je jejich jednoznač-ný rozklad na součin prvoideálů (násobíme přes všechny nenulové prvoideály). Jistě a(P),b(P)∈N0pro každý prvoideál P. Snadno rozmyslíme, že platí následující tvrzení.

• A dělí B právě tehdy, když a(P)≤b(P)pro každý (nenulový) prvoideál P.

• Položme c(P) =min(a(P),b(P))a d(P) =max(a(P),b(P)). Pak dostáváme (A,B) =

∏

P

P^c(P), [A,B] =

∏

P

P^d(P).

• Dále platí

(A,B)·[A,B] =A·B.

Věta 2.23. Je-li R Dedekindův okruh, pak:

1. Pro lomené ideály A, B platí A⊆B právě tehdy, když A=BC pro nějaký ideál C⊆R.

2. Pro nesoudělné ideály A, B platí AB=A∩B.

3. Nechť n∈Na A₁, . . . ,A_njsou po dvou nesoudělné ideály. Pak^Tn_i=1A_i=∏ⁿ_i=1A_i. 4. Pro ideály A, B platí(A,B) =A+B

Důkaz.

1. „⇒“: Protože A ⊆B, platí AB⁻¹ ⊆ BB⁻¹ = R. Položme C =AB⁻¹, pak BC = BAB⁻¹=A.

„⇐“: Zřejmé.

2. „⊆“: Zřejmé, vždyťAB⊆AR=AaAB⊆BR=B, tj.AB⊆A∩B.

„⊇“: Protože A∩B⊆A, dostáváme z 1, že existujeC⊆R takové, že A∩B=AC, tedy A dělí A∩B. PodobněB dělí A∩B. Protože A, B jsou nesoudělné ideály, AB dělíA∩B, tedy opět z1dostáváme, žeA∩B⊆AB.

3. Plyne z části 2, vždyť pro k=2, . . . ,n je ideálA_k nesoudělný s ∏^k−1_i=1A_i. Použitím indukce vzhledem kntedy dostáváme požadované.

4. „⊆“: JistěA⊆A+BaB⊆A+B, což podle1znamená, žeA+BdělíAiB, proto i jejich největšího společného dělitele, tedy(A,B)⊆A+B.

„⊇“: Protože A+B je nejmenší ideál obsahující A i B a (A,B) je nějaký ideál obsahujícíAiB, je(A,B)⊇A+B.

Poznámka. Věta2.23část1říká pro ideály, že dělit znamená obsahovat. Tedy ideálAdělí Bprávě tehdy, kdyžA⊇B.

Definice. Nechť R je okruh, I jeho ideál, a,b∈R. Řekneme, že a je kongruentní s b moduloI, píšeme

a≡b (modI), jestližea−b∈I.

Poznámka. Podmínka a≡b (mod I) je ekvivalentní s tím, že a,b leží ve stejné třídě faktorokruhu R/I. Kongruence je tedy relace ekvivalence. Protože každý ideál v Z je hlavní, pojmy kongruence modulo číslo a kongruence modulo ideál vZsplývají, tj.

a≡b (modm) ⇔ a≡b (mod (m)).

Tvrzení 2.24. Nechť R je libovolný okruh, I jeho ideál a a, b∈R. Kongruence ax≡b (modI)má řešení x∈R právě tehdy, když b∈I+aR.

Důkaz. „⇒“: Nechť má kongruence ax≡b (modI) řešeníx∈R. Z definice dostáváme b−ax∈I, tedy existujey∈Itakové, žeb=y+ax∈I+aR.

„⇐“: Nechť b∈I+aR, pak b=y+ar pro vhodné r∈R a y∈I. Kongruence ax≡b (modI)má tedy řešeníx=r.

Důsledek 2.25. Nechť R je Dedekindův okruh, P jeho nenulový prvoideál, a∈R\P. Pro každé n∈Nmá kongruence ax≡b (modPⁿ)řešení x∈R pro libovolné b∈R.

Důkaz. Protožea∈R\P, jsou ideályPaaRnesoudělné (kdyby v rozkladuaRbyl prvo-ideálP, musel by aRdělit, tedy i obsahovat, přitom a∈/ P). Nutně jsou tedy nesoudělné iPⁿaaR, tedy Pⁿ+aR= (Pⁿ,aR) =R. Podmínka z předchozího tvrzení je tedy splněna vždy.

Důsledek 2.26. Nechť R je Dedekindův okruh, P₁, P₂, . . . ,P_mjeho různé nenulové prvoideály a nechť a₁, . . . ,a_m∈R. Pro každé n∈Nexistuje řešení x∈R soustavy kongruencí x≡a_i (modP_iⁿ)pro i=1,2, . . . ,m.

Důkaz. Vyberme b_i ∈(P₁. . .P_i−1P_i+1. . .P_m)ⁿ\P_i pro i=1, . . . ,m. Nechť x_i je řešením kongruenceb_ix_i≡a_i (mod P_iⁿ). Pakx=b₁x₁+· · ·+b_mx_mje společným řešením zadaných kongruencí.

Důsledek 2.27(Čínská zbytková věta). Nechť R je Dedekindův okruh, I₁, I₂, . . . ,I_m jeho po dvou nesoudělné ideály. Nechť jsou dále dány a₁, a₂, . . . ,a_m∈R. Pak existuje společné řešení x∈R soustavy kongruencí x≡a_i (modI_i)pro i=1,2, . . . ,m.

Důkaz. Je-li některý ideál I_i nulový, musí být kvůli nesoudělnosti ostatní I_j=R, a tedy x=a_ije řešením. Je-li některý ideálI_i=R, je každá kongruence modulo tento ideál splněna triviálně. Předpokládejme tedy, že pro každéi∈ {1,2, . . . ,m}platí(0)⊂I_i⊂R, a uvažme rozklad ideálůI_ina prvoideály. To spolu s částí3věty2.23dává

I_i=

∏

^{Pbi(P)=\Pbi(P),}

přičemž součin uvažujeme jen přes nenulové prvoideályPsplňujícíb_i(P)>0. Díky tomu je tento součin konečný.

Kongruencex≡a_i (mod I_i)je ekvivalentní soustavě kongruencíx≡a_i (modP^bi(P)), vždyťx−a_i∈I_i=^TP^bi(P)nastává právě tehdy, kdyžx−a_i∈P^bi(P)pro všechny uvažované prvoideályP. Navíc platí, žex≡a_i (mod P^r+1)dává řešení pro x≡a_i (mod P^r), vždyť P^r dělí, a tedy obsahuje, P^r+1. Proto uvážením soustavy tvořené všemi takovými kon-gruencemi přesi=1, . . . ,m, volboun=maxi,Pb_i(P)a aplikací důsledku2.26dostáváme hledané řešení.

Důsledek 2.28. Nechť R je Dedekindův okruh, I, J jeho nesoudělné nenulové ideály. Pak existuje x∈I takový, že (xR,J) =R, xI⁻¹,I

=R. Při takto pevně zvoleném x navíc existuje pro každý ideál I₁nesoudělný s I prvek y∈I takový, že(yR,I₁) =R, yI⁻¹,I

=R a xR+yR=I.

Důkaz. Uvažme rozkladIna součin prvoideálů I=

Opětovným použitím čínské zbytkové věty dostáváme existenci řešeníysoustavy y≡x_i (modP_i^ai+1) i=1,2, . . . ,m,

Důsledek 2.29. Každý ideál v Dedekindově okruhu je generovaný jako R-modul nejvýše dvěma prvky.

Důkaz. Plyne přímo z předchozího důsledku, vždyť máme vyjádřeníI=xR+yR.

Důsledek 2.30. Nechť R je Dedekindův okruh, I, J jeho nenulové ideály. Pak existuje ideál A takový, že(A,IJ) =R a AI je hlavní ideál.

Důkaz. Je-liI=R, stačí uvážitA=R. Nechť protoI⊂R. Podobně jako v důsledku2.22 můžeme uvážit rozklad ideálů na součin nenulových prvoideálů

I=

∏

(0)⊂P⊂R Pje prvoideál

P^a(P), J=

∏

(0)⊂P⊂R Pje prvoideál

P^b(P),

kde jen konečně mnoho koeficientůa(P),b(P)∈N0je nenulových.

Označme P množinu prvoideálů, které dělí IJ. Pro každé P_i ∈P uvažme prvek a_i∈P_i^a(Pi)\P_i^a(Pi)+1. Z čínské zbytkové věty dostáváme existenci prvkua∈R, který splňuje

a≡a_i (mod P_i^a(Pi)+1)

pro každéP_i∈P. Zřejměa∈P_i^a(Pi), alea∈/P_i^a(Pi)+1. Přitom platí aR=

∏

^Pi^a(Pi)A=IA

pro vhodnéA, které je nesoudělné se součinemIJ.

Věta 2.31. Nechť R je Dedekindův okruh, I jeho ideál a I=P₁^α1P₂^α2. . .P_r^αr jeho faktorizace na prvoideály. Pak R/I∼=^L_1≤i≤rR/P_i^αi.

Důkaz. Uvažme homomorfismus f: R→^L_1≤i≤rR/P_i^a(Pi)daný předpisem f(r) = ([rmodP₁^α1], . . . ,[rmodP_r^αr]).

Z čínské zbytkové věty (důsledek2.27) plyne, že f je surjektivní. Je-lir∈kerf, pakr∈P_i^αi pro každéi=1, . . . ,r. Tedy podle části 3 věty 2.23 kerf ⊆I. Naopak zřejmě I ⊆kerf. Z věty o izomorfismu (věta1.6) dostáváme, že

M

1≤i≤r

R/P_i^αi=imf ∼=R/kerf =R/I, což jsme chtěli ukázat.

Konečně generované torzní moduly nad Dedekindovými okruhy

V příští kapitole ukážeme, že každý konečně generovaný modul nad Dedekindovým okruhem lze napsat jako přímý součet jeho torzního podmodulu a modulu, který je bez torze. Cílem této kapitoly je popsat tvar torzních modulů nad Dedekindovými okruhy.

Zavedeme pojem lokalizace okruhu, který nám umožní studovat tyto torzní moduly pomocí modulů nad okruhy s diskrétní valuací. Díky tomu, že tyto okruhy mají výrazně jednodušší strukturu ideálů než obecné Dedekindovy okruhy, budeme schopni tvar torzních modulů popsat.

Definice. NechťRje okruh,Ijeho ideál. NechťMjeR-modul. DefinujemeR-modul IM={

n

∑

i=1

r_im_i|r_i∈I, m_i∈M, n∈N}.

Poznámka. Zřejmě je IM podmodul moduluM. Jsou-li navícI iM konečně generované R-moduly, pak je též IM konečně generovaný R-modul (jsou-li r₁, . . . ,r_k generátory I am₁, . . . ,m_lgenerátoryM, pak jsour_im_jgenerátoryIMproi∈ {1, . . . ,k}a j∈ {1, . . . ,l}).

Věta 3.1. Nechť R je Dedekindův okruh, N6={0}je konečně generovaný torzní R-modul.

AnihilátorAnn(N)je nenulový vlastní ideál okruhu R. Označme

Ann(N) =P₁^e1. . .P_t^et (3.1) jeho rozklad na součin prvoideálů. Pak platí

N∼= N/P₁^e1N

⊕ · · · ⊕(N/P_t^etN), kde výše uvedený izomorfismus je izomorfismus R-modulů.

Důkaz. Z tvrzení1.12vyplývá, že Ann(N)je ideál okruhu R, přitom Ann(N)je vlastní, protožeN6={0}. Označmeu₁, . . . ,u_k generátoryN. Protože jeN torzní, existují nenulové prvkyr₁, . . . ,r_k ∈Rtakové, žer₁u₁=r₂u₂=· · ·=r_ku_k=0. Protože jeR obor integrity, je r=r₁r₂. . .r_k 6=0. Z komutativity R ihned dostáváme, že ru₁=ru₂ =· · ·=ru_k =0, nutně tedyr∈Ann(N). Ideál Ann(N)je tedy nenulový. Podle věty2.20můžeme Ann(N) napsat jako součin prvoideálů, tedy ve tvaru (3.1).

– 33 –

Uvažme zobrazení

ϕ: N→ N/P₁^e1N

⊕ · · · ⊕(N/P_t^etN), ϕ: n7→ n+P₁^e1N, . . . ,n+P_t^etN

.

Jistě jeϕ homomorfismem modulů. Ukážeme, že je dokonce izomorfismem.

Ukažme nejprve, že ϕ je surjektivní. Buď tedy n₁+P₁^e1N, . . . ,n_t+P_t^etN

Homomorfismusϕ je tedy izomorfismem, což jsme chtěli dokázat.

3.1 Lokalizace

V této části budeme budeme vycházet z [1,7].

Definice. NechťRje okruh. Řekneme, žeS⊆Rjemultiplikativní podmnožina, jestliže 1. 1∈S,

2. pro všechnaa,b∈Splatía·b∈S.

Definice. Nechť R je komutativní okruh, S⊆ R jeho multiplikativní podmnožina. Na množiněR×Sdefinujeme relaci ekvivalence∼předpisem

(r₁,s₁)∼(r₂,s₂) ⇔ ∃s∈S: s(r₁s₂−r₂s₁) =0.

RozkladR×S podle ekvivalence ∼budeme značitS⁻¹R. Třídu obsahující(r,s)budeme značit ^r_s. Na množiněS⁻¹Rzavedeme operace+a·následujícím předpisem:

r₁

MnožinaS⁻¹Rtvoří spolu s těmito operacemi komutativní okruh, který budeme nazývat lokalizací okruhu R vzhledem k množině S.

Důkaz korektnosti definice. Ukažme nejprve, že relace ∼je skutečně relací ekvivalence.

Zřejmě je reflexivní a symetrická. Zbývá ukázat tranzitivitu.

Nechť(r₁,s₁)∼(r₂,s₂)a(r₂,s₂)∼(r₃,s₃), existují tedys,t ∈Stakové, že sr₁s₂=sr₂s₁, tr₂s₃=tr₃s₂.

ProtožeSje multiplikativní, je ists₂∈S. Dostáváme

sts₂(r₁s₃) =ts₃(sr₁s₂) =ts₃(sr₂s₁) =ss₁(tr₂s₃) =ss₁(tr₃s₂) =sts₂(r₃s₁), tedysts₂(r₁s₃−r₃s₁) =0, což znamená, že(r₁,s₁)∼(r₃,s₃).

Nyní zbývá ukázat, že definované operace zadávají naS⁻¹Rstrukturu okruhu.

Nejprve dokažme korektnost obou operací: nechť ^r_s¹

1 = ^r01 To z definice relace∼nastává právě tehdy, když existujes∈Stakové, že

s (r₁s₂+r₂s₁)s⁰₁s⁰₂− r₁⁰s⁰₂+r⁰₂s⁰₁ s₁s₂

=0, respektive s r₁r₂s⁰₁s⁰₂−r⁰₁r₂⁰s₁s₂

=0.

Víme, že existujít₁,t₂∈Stakové, že respektive (stejnou volbous∈S)

sr⁰₁r₂⁰s₁s₂= (t₁r₁⁰s₁)(t₂r₂⁰s₂) = (t₁r₁s⁰₁)(t₂r₂s⁰₂) =sr₁r₂s⁰₁s⁰₂,

což v obou případech po převedení na jednu stranu dává dokazovanou podmínku. Obě operace jsou tedy definovány korektně.

• Asociativita plyne z asociativity násobení prvků zR.

• Komutativita plyne z komutativity násobení prvků zR.

• Neutrální prvek vzhledem k operaci·je ¹₁, vždyť

Zbývá ukázat, že operace+ a·jsou svázány distributivními zákony (díky komutativitě · stačí ukázat jeden).

Lokalizace okruhu R vzhledem k množině S je tedy vlastně okruh zlomků, kde možní jmenovatelé jsou právě prvky množinyS.

• Všimněme si, že v konstrukci podílového tělesa definujeme příslušnou relaci ekvi-valence předpisem

(a,b)∼(c,d) ⇔ ad=bc.

To lze proto, že se při konstrukci podílového tělesa nacházíme v oboru integrity a množina S neobsahuje nulu. Můžeme tedy prvky množiny S krátit. S touto de-finicí bychom v případě obecného komutativního okruhu R a jeho multiplikativní podmnožinySnebyli schopni dokázat tranzitivitu relace∼.

• NechťRje komutativní okruh. PakS⁻¹R={0}právě tehdy, když 0∈S.

„⇒“:(1,1)∼(0,1), existuje tedys∈Stakové, žes(1·1−0·1) =s=0.

„⇐“: Nechť(r₁,s₁),(r₂,s₂)∈R×S, pak(r₁,s₁)∼(r₂,s₂), vždyť 0·(r₁s₂−r₂s₁) =0.

Z tohoto důvodu se někdy přímo v definici multiplikativní podmnožiny předpokládá, že nulu neobsahuje.

Věta 3.2. Nechť R je netriviální komutativní okruh, S jeho multiplikativní podmnožina neobsahující nulu a S⁻¹R lokalizace okruhu R vzhledem k množině S. Pak zobrazení

λ: R→S⁻¹R, λ: r→ r

1 je homomorfismus okruhů. Navíc platí, že

1. λ je injektivní právě tehdy, když S⊆R neobsahuje nulu ani žádného dělitele nuly okruhu R.

2. Nechť S neobsahuje nulu ani žádného dělitele nuly, pakλ je surjektivní právě tehdy, když S obsahuje pouze jednotky okruhu R.

Důkaz. Buďtea,b∈Rlibovolné, pak Jedná se tedy o homomorfismus okruhů.

1. Nechťa∈kerλ. To nastává právě tehdy, když(a,1)∼(0,1), tj. existujes∈Stakové,

Poznámka. Jestliže S neobsahuje nulu ani dělitele nuly, budeme okruh R chápat jako podokruh okruhuS⁻¹R.

Lokalizací dostáváme univerzální objekt mezi všemi homomorfismy okruhů vycházejí-cími zRtakovými, že obraz každého prvkus∈Sje jednotka. Přesně tuto vlastnost popisuje následující věta.

Věta 3.3. Buď R komutativní okruh a S jeho multiplikativní podmnožina. Nechťϕ: R→T je homomorfismus okruhů takový, žeϕ(r)∈T je jednotka pro každé r∈S. Pak existuje jediný homomorfismus okruhůψ: S⁻¹R→T takový, žeϕ=ψ◦λ.

Důkaz. Chceme tedy ukázat, že existuje jediné zobrazeníψ takové, aby komutoval násle-dující diagram

=ϕ(r)ϕ(s)⁻¹. Zbývá ukázat, že toto zobrazení je dobře definovaný homomorfismus okruhů. Ukažme nejprve, že je dobře definované. Nechť ^r_s¹

1 = ^r_s²

2, tj. existujes∈Stakové, žes(r₁s₂−r₂s₁) =0. Aplikujeme homomorfismusϕ a dostáváme

ϕ(s) (ϕ(r₁)ϕ(s₂)−ϕ(r₂)ϕ(s₁)) =0.

Protožeϕ(s)je jednotka, můžeme obě strany rovnice vynásobit její inverzí. Odtud dostá-váme

ϕ(r₁)ϕ(s₁)⁻¹=ϕ(r₂)ϕ(s₂)⁻¹

Dále chceme ukázat, že se jedná o homomorfismus okruhů.

Zobrazeníψ je tedy hledaným homomorfismem okruhů.

Poznámka. Nyní pojem lokalizace zobecníme na moduly. Výše jsme lokalizovali libo-volný komutativní okruhRpomocí jeho multiplikativní podmnožinyS, abychom obdrželi okruhS⁻¹R. Nyní budeme lokalizovat libovolnýR-modulM, čímž získámeS⁻¹R-modul S⁻¹M.

Definice. Nechť Rje komutativní okruh, S⊆Rjeho multiplikativní podmnožina a M je R-modul. Na množiněM×Sdefinujeme relaci ekvivalence∼předpisem

(m₁,s₁)∼(m₂,s₂) ⇔ ∃s∈S: s(s₁m₂−s₂m₁) =0.

RozkladM×S podle∼ budeme značit S⁻¹M. Třídu obsahující (m,s)budeme značit ^m_s. Na této množině zavedeme strukturuS⁻¹R-modulu:

m

Poznámka. Korektnost předchozí definice se ukáže zcela analogicky jako korektnost de-finice lokalizace okruhu. Snadno se rozmyslí, že výše definovaná operace + nám spolu s násobením prvky ^r_s ∈S⁻¹Rskutečně dává strukturuS⁻¹R-modulu.

Věta 3.4. Nechť R je komutativní okruh, S jeho multiplikativní podmnožina neobsahující nulu ani dělitele nuly. Nechť M je R-modul bez torze a S⁻¹M je S⁻¹R-modul. Pak

ProtožeS neobsahuje nulu ani dělitele nuly, lze R ztotožnit s podokruhem S⁻¹R. Buďte m,n∈Mar∈Rlibovolné, pak

Nechťm∈kerϕ, pak ^m₁ =⁰₁, existuje tedys∈Stakové, žesm=0. ProtožeMje bez torze as6=0, je nutněm=0. Homomorfismusϕ je tedy injektivní.

Definice. Nechť R je komutativní okruh a P jeho prvoideál. Lokalizací okruhu R v pr-voideálu Prozumíme lokalizaci okruhuR vzhledem k podmnožiněR\P. Vzniklý okruh značímeR_P.

Poznámka. Uvědomme si, že definice je korektní, vždyť množinaR\Pje multiplikativní, protožePje prvoideál. Je-li navícRobor integrity, můžeme okruhR_Pchápat jako podokruh podílového tělesa okruhu R, který obsahuje R, vždyť zobrazení ψ z věty 3.3 je v tomto případě injektivní (zřejmě kerψ ={0}) aλ je injektivní podle věty3.2.

Definice. Diskrétní valuací na těleseKrozumíme funkciν: K\ {0} →Z, která splňuje 1. ν je surjektivní,

2. ν(xy) =ν(x) +ν(y)pro všechnax,y∈K\ {0},

3. ν(x+y)≥min{ν(x),ν(y)}pro všechnax,y∈K\ {0}taková, žex+y6=0.

Okruh{x∈K\ {0} |ν(x)≥0} ∪ {0}se nazývávaluační okruhvaluaceν.

Obor integrityRnazvemeokruhem s diskrétní valuací, jestliže jeRvaluačním okruhem nějaké diskrétní valuace definované na jeho podílovém tělese.

Důkaz korektnosti definice. Potřebujeme ukázat, žeR={x∈K\ {0} |ν(x)≥0} ∪ {0}je okruh.

Zřejmě ν(1) =ν(1·1) = ν(1) +ν(1), tedy ν(1) =0, a proto 1∈R. Podobně platí ν(−1·(−1)) = 2ν(−1) = 0, tedy −1 ∈R. Pokud jsou a,b∈R\ {0}, pak ν(a)≥ 0 aν(b)≥0, proto iν(ab) =ν(a) +ν(b)≥0, tedyab∈R. Podobným způsobem dostáváme ν(a+b)≥min{ν(a),ν(b)} ≥0, tedya+b∈R.

Poznámka. V definici okruhuRs diskrétní valuací vyžadujeme existenci libovolné valuace na podílovém tělese takové, že R je jejím valuačním okruhem. Ukážeme, že příslušná diskrétní valuace existuje jediná a je okruhem Rjednoznačně určena. K tomu nám bude stačit následující lemma.

Lemma 3.5. Nechť R je okruh s diskrétní valuacíν. Nechť t ∈R je takový, že ν(t) =1.

Pak platí

1. Nenulový prvek u∈R je jednotkou právě tehdy, kdyžν(u) =0.

2. Každý nenulový prvek r∈R lze napsat ve tvaru r=utⁿpro vhodnou jednotku u∈R, kde n=ν(r)∈N0.

3. Každý nenulový ideál okruhu R je hlavní ideál tvaru tⁿR pro vhodné n∈N₀. Důkaz.

1. „⇒“: Nechťu∈Rje jednotka. Pak existujev∈Rtakové, žeuv=1, odtud dostáváme 0=ν(uv) =ν(u) +ν(v), což z nezápornostiν na prvcích okruhuRdáváν(u) =0.

„⇐“: Nechť u∈R je nenulový prvek takový, že ν(u) =0. Pak u⁻¹∈K splňuje 0=ν uu⁻¹

=ν(u) +ν u⁻¹

=ν u⁻¹

, tedyu⁻¹∈R.

2. Jistěν(rt⁻ⁿ) =0, což podle1znamená, žert⁻ⁿ=u, kdeuje nějaká vhodná jednotka okruhuR. Vynásobenímtⁿdostávámer=utⁿ.

3. Nechť I je nenulový ideál okruhu R ar∈I je prvek, pro který je ν(r)minimální.

Označmeν(r) =n, pak podle2platír=utⁿ, kdeu∈Rje jednotka. PrototⁿR⊆I.

Je-li nenulové a∈I, pakν(a)≥ndíky volbě n. Pakν(at⁻ⁿ)≥0, tedy at⁻ⁿ∈R, což znamená, žea∈tⁿR. OdtudtⁿR=I.

Poznámka. Všimněme si, že poslední část předchozího lemmatu říká nejen, že každý okruh s diskrétní valuací je okruhem hlavních ideálů, ale také, žeRmá jediný maximální ideál tR, který je zároveň jediným nenulovým prvoideálem.

Nyní už snadno nahlédneme, že valuaceνje určena jednoznačně. Jistě jeRDedekindův okruh, vždyť je okruhem hlavních ideálů. NechťK je jeho podílové těleso aPjeho jediný nenulový prvoideál. Nechť 06=x∈Kje libovolné, pak podle důsledku2.22můžeme uvážit rozklad lomeného ideáluxRna součin prvoideálů, dostávámexR=Pⁿ pro nějakén∈Z. Zřejmě musíme položitν(x) =n.

Definice. NechťRje Dedekindův okruh,Kjeho podílové těleso. Buď dálex∈Klibovolný nenulový prvek, uvažme

xR=

∏

(0)⊂P Pje prvoideál

P^e(P)

rozklad lomeného ideáluxRna součin prvoideálů. NechťPje nenulový prvoideál okruhuR.

Diskrétní valuací příslušnou prvoideálu Prozumíme diskrétní valuaciν_Pdanou předpisem ν_P(x) =e(P).

Důkaz korektnosti definice. Protožex6=0, jexRlomený ideál. Ten lze podle důsledku2.22 jednoznačně rozložit na prvoideály. Funkceν_P je tedy dobře definovaná. Ověřme, že se skutečně jedná o diskrétní valuaci.

1. Uvažmeπ ∈P\P², pakν_P(πⁿ) =npron∈Z,ν_Pje tedy surjektivní.

2. Vlastnostν(xy) =ν(x) +ν(y)plyne z důsledku2.22.

3. Jistě (x+y)R⊆xR+yR. Podle části 1 věty 2.23 existuje ideál Q⊆R takový, že (x+y)R= (xR+yR)Q. ProtožeQ⊆R, je exponent uPv rozkladuQna prvoideály nezáporný. BuďI⊆Rideál takový, žexQIiyQIjsou ideály okruhuR. Podle části4 věty 2.23 platíxQI+yQI= (xQI,yQI). Uvažme rozkladxQI a yQI na prvoideály a označmee_xae_ymocniny, ve kterých se nacházíPv těchto rozkladech. Pak mocnina prvoideáluPv rozkladuxQI+yQIna prvoideály je rovna min{e_x,e_y}. Vynásobením I⁻¹dostávámeν(x+y)≥min{ν(x),ν(y)}.

Věta 3.6. Nechť R je Dedekindův okruh, P jeho nenulový prvoideál a K jeho podílové těleso. Nechťν_P: K\ {0} →Zje diskrétní valuace příslušná prvoideálu P. Pak valuačním okruhem valuaceνP je okruh R_P(chápeme-li tento jako podokruh podílového tělesa K).

Důkaz této věty přejímáme z [3].

Důkaz. Nechťπ∈P\P². Buďr∈R\ {0}libovolný prvek. Označmeν_P(r) =n. Nejprve ukážeme, žer= ^π_s^nt pro vhodnás,t∈R\P.

Z věty2.20dostáváme vyjádřenírR=PⁿI, kdePnedělíI, aπⁿR=PⁿJ, kdePnedělí J. Podle čínské zbytkové věty (důsledek2.27) existuje řešenís∈Rsoustavy

s≡0 (mod J), s≡1 (modP).

PotomsR=JMpro nějaký ideálM, který není dělitelnýP. Protože ^r

πⁿR=IJ⁻¹, platí sr

πⁿR=sIJ⁻¹=JMIJ⁻¹=MI,

odtud srR=πⁿMI, tedy sr =πⁿt pro nějaké t ∈MI\P (jistě t ∈/ P, vždyť ν_P(r) = n aν_P(s) =0). To dává rovnostr= ^π_s^nt.

Buď dále α ∈K\ {0}, tj.α = ^a_b pro nějaké prvkya,b∈R\ {0}. Nechť ν_P(α) =m.

Z předchozí části dostáváme vyjádření a= π^m1t₁

s₁ , b=π^m2t₂ s₂ , kdet₁,t₂,s₁,s₂∈R\P,m₁−m₂=m. Proto

α = π^m1t₁s₂

π^m2t₂s₁ = π^mt₁s₂ t₂s₁ , tedyα ∈R_Pprávě tehdy, kdyžν_P(α)≥0.

Důsledek 3.7. Nechť R je Dedekindův okruh, P jeho prvoideál. Pak R_P je okruh hlavních ideálů.

Důkaz. Je-li P={0}, pak je R_P podílové těleso okruhu R. V opačném případě je R_P podle věty3.6 okruhem s diskrétní valuací, a tedy podle lemmatu3.5 okruhem hlavních ideálů.

Poznámka. Nechť R je Dedekindův okruh, P jeho prvoideál. Pak lze R podle věty 3.2 chápat jako podokruhR_P. ProtožeP^eje ideál okruhuRaR_Pmůžeme chápat jakoR-modul, jeP^eR_PtakéR-modul. PřitomP^eR_p⊆R_pmá jistě též strukturuR_Pmodulu, je to tedy ideál okruhuR_P.

Předpokládejme navíc, že P je nenulový prvoideál. Pak je podle předchozí věty R_P valuačním okruhem valuace ν_P. IdeálP^eR_P obsahuje právě ty prvky, jejichž valuace je alespoňe. Podle lemmatu3.5jeP^eR_Pprávěe-tou mocninou jediného maximálního ideálu okruhuR_P.

Věta 3.8. Nechť R je Dedekindův okruh, P jeho nenulový prvoideál, pak R/P^e∼=R_P/P^eR_P,

kde výše uvedený izomorfismus je izomorfismus okruhů indukovaný vnořením R→R_P.

Důkaz. Uvažme vnořeníλ: R→R_P z věty 3.2 aπ: R_P→R_P/P^eR_P projekci na faktor-okruh. To lze, vždyťP^eR_Pje podle předchozí poznámky ideál okruhuR_P. Položmeϕ=π λ. Jistě se jedná o homomorfismus okruhů. Dostáváme následující komutativní diagram:

R ^{ λ //}

ϕ ##

R_P

π

R_P/P^eR_P Ukažme, že kerϕ=P^e.

„⊆“: Buď p∈kerϕ, tedy ^p₁ ∈kerπ =P^eR_P. Můžeme proto psát p=q·^s_t, kde q∈P^e a ^s_t ∈R_P. Zejménapt=qs, kdet∈R\P. Uvažme hlavní ideály generované těmito prvky.

DostávámeqsR= ptR=pR·tR. PřitomPnedělítR. Protožeq∈P^eas∈R, musíP^edělit ptR, proto dělí ipR, tedy p∈P^e.

„⊇“: Buďr∈P^e, pakλ(r) =^r₁=r·¹₁∈P^eR_P, tedyλ(r)∈kerπ, což znamená, žer∈kerϕ.

Dále ukažme, žeϕ je surjektivní.

Buďα+P^eR_P∈R_P/P^eR_Plibovolný prvek. Označmeα= ^a_b, kdea∈R,b∈R\P. JistěP nedělíbR. Soustava

x≡ −a (modbR), x≡ 0 (modP^e)

má podle čínské zbytkové věty (důsledek2.27) řešeníx, jistěx∈P^e. Zejména tedy^x_b∈P^eR_P. Dostáváme

a b+x

b =ab+xb

b² = a+x b ,

přitoma+x∈bR, existuje tedyq∈Rtakové, žea+x=bq, odtud a

b+P^eR_P= a+x

b +P^eR_P= bq

b +P^eR_P= q

1+P^eR_P. Protoϕ(q) =α+P^eR_P,ϕ je tedy surjektivní.

Z první věty o izomorfismu pro okruhy dostáváme požadované tvrzení R/kerϕ =R/P^e∼=R_P/P^eR_P.

3.2 Konečně generované torzní moduly nad okruhy s dis-krétní valuací

V této části využijeme myšlenky důkazů z textu [2].

Poznámka. Ve větě3.1jsme ukázali, že každý konečně generovaný torzní modulN6={0}

nad Dedekindovým okruhemRlze rozložit na přímé sčítance, které jsou tvaruN/P^eN, kde Pje nějaký nenulový prvoideál. Můžeme proto chápatN/P^eN jakoR/P^e-modul, přitom podle věty 3.8 je R/P^e ∼=R_P/P^eR_P. Lze proto N/P^eN uvažovat jako R_P modul, jehož anihilátor obsahujeP^eR_P, přitomR_Pje okruh s diskrétní valuací.

Lemma 3.9. Nechť R je okruh hlavních ideálů, M cyklický R-modul. Pak existuje a∈R takové, že

M∼=R/aR, přitom platí aR=Ann(M).

Důkaz. R-modulMje cyklický, tj.M=xR. Můžeme definovat homomorfismus modulů ϕ:R→M,

ϕ: r7→rx.

Zřejmě jeϕ surjektivní. První věta o izomorfismu (věta1.6) dává M∼=R/kerϕ,

kde kerϕje podle tvrzení1.2podmodul moduluR, tedy ideál okruhuR. ProtožeRje okruh hlavních ideálů, existujea∈Rtakové, žeaR=kerϕ, tj.

M∼=R/aR.

Navíc platíϕ(r) =rx=0 právě tehdy, kdyžr∈Ann(M), tedy kerϕ=Ann(M).

Věta 3.10. Nechť R je okruh hlavních ideálů. Nechť M je konečně generovaný R-modul a N jeho podmodul takový, že pokud m∈M a r∈R splní rm∈N, pak existuje n∈N takové, že rm=rn. Nechť je navíc R-modul M/N izomorfní s přímým součtem cyklických R-modulů, pak M∼=M/N⊕N.

Důkaz. Je-liM/Npřímým součtem cyklických modulů, pak je každý sčítanec generovaný prvkemx_i+Npro vhodnéx_i∈M\N. Protože Ann(x_i+N)je ideál okruhuR, je generovaný jediným prvkem, ten označmea_i. Dostávámea_ix_i∈N, existuje proto z předpokladů věty z_i∈Ntakové, žea_ix_i=a_iz_i. Pakx_i+N= (x_i−z_i) +Naa_i(x_i−z_i) =0.

Každý prvekR(x_i+N)je tvarurx_i+N. Uvažme proto zobrazení s_i: R(x_i+N)→M,

s_i: rx_i+N7→r(x_i−z_i).

Ukažme, žes_izadává (injektivní) homomorfismus modulů. Nechťrx_i+N=tx_i+N, pak ale (r−t)x_i+N=0+N, tedy(r−t)∈a_iR. Odtudr−t=a_iq, přitom protožea_i(x_i−z_i) =0, dostáváme(r−t)(x_i−z_i) =0, tedy r(x_i−z_i) =t(x_i−z_i). Zobrazení s_i je tedy korektně definované. Zřejmě se jedná o homomorfismus modulů. Označmeψ: M→M/Nprojekci na faktormodul. Protože je složeníψ◦s_iidentita naR(x_i+N), vždyť

rx_i+N7→^si r(x_i−z_i)7→^ψ rx_i+N, kdez_i∈N, jes_iinjekce.

NechťM/N=^Lk_i=1R(x_i+N). Buďι: N→Mvnoření podmodulu do modulu. Označ-meϕ= (^Lk_i=1s_i)⊕ι přímý součet homomorfismů, tedy zobrazení

ϕ: M/N⊕N→M

dané předpisemϕ((r₁x₁+N, . . . ,r_kx_k+N,n)) =n+∑^k_i=1r_i(x_i−z_i). Jistě se jedná o ho-momorfismusR-modulů. Chceme ukázat, že jde dokonce o izomorfismus.

Protožeψ◦s_i je identita na (x_i+N)R, je restrikce složení ψ◦ϕ na podmodul M/N identitou naM/N.

• Nechť (r₁x₁+N, . . . ,r_kx_k+N,n)∈kerϕ ⊆M/N⊕N, pakn+∑^k_i=1r_i(x_i−z_i) =0.

Homomorfismusϕ je tedy izomorfismusR-modulů.

Věta 3.11. Nechť R je okruh s diskrétní valuací, p ∈R takové, že pR je jeho jediný nenulový prvoideál. Nechť M je konečně generovaný torzní R-modul, pak M je přímým součtem konečně mnoha torzních cyklických modulů.

Důkaz. Je-li M ={0}, pak M = R/1R. Můžeme proto uvažovat, že M 6={0}. Nechť

x₁, . . . ,x_t je množina generátorůMminimální kardinality. Indukcí vzhledem ktukážeme,

žeMje přímým součtemtnebo méně cyklických sčítanců. Tvrzení zřejmě platí prot=1.

Buď tedy t ≥2 a předpokládejme, že tvrzení platí pro všechny torzní moduly s méně generátory.

Nechť Ann(Rx_i) =pⁿⁱR, n=maxi=1,...,t{n_i}. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, žen=n₁.

Protože M/Rx₁ je generovaný pouze t−1 prvky, je tento modul přímým součtem nejvýšet−1 cyklických modulů. Zbývá ukázat, že Rx₁ splňuje předpoklady věty 3.10.

Nechť tedym∈Mar∈Rjsou takové, žerm∈Rx₁. Je-lirm=0, pakrm=r0, kde 0∈Rx₁.

stačí tedy ukázat, že l≥k. Vynásobme proto obě strany předchozí rovnosti p^n−l−1∈R, obdržíme

up^k+n−l−1m=vpⁿ⁻¹x₁6=0,

tedyk+n−l−1≤n−1, vždyťpⁿM=0. To dávák≤l, což jsme chtěli ukázat.

In document B 2016D V Diplomovápráce MASARYKOVAUNIVERZITA (Stránka 36-0)