Projektivní moduly - B 2016D V Diplomovápráce MASARYKOVAUNIVERZITA

Kapitola 1. Moduly

1.2 Projektivní moduly

V této části budeme vycházet z textu [5].

Definice. BuďRokruh.R-modulPnazývámeprojektivní, jestliže pro libovolnéR-moduly M, N a libovolné homomorfismy h: M →N a f: P→N, kde h je surjektivní, existuje homomorfismus g: P→M takový, že hg= f, tj. existuje homomorfismus g takový, že diagram

∃g

h ////N komutuje.

Definice. NechťRje okruh 1. Řekneme, že posloupnost

A→^f B→^g C

R-modulů (případně grup) a homomorfismů mezi nimi jeexaktní v B, jestliže platí kerg=imf.

2. Posloupnost

· · · →X_n−1→X_n→X_n+1→. . .

se nazývá exaktní, jestliže je exaktní ve všech svých členech, kde je tento pojem definován (tj. ve všech členech mezi dvěma homomorfismy).

3. Krátkou exaktní posloupností rozumíme exaktní posloupnost tvaru 0→A→B→C→0.

Poznámka. Uvažme posloupnost

0→A→^f B→^g C→0.

1. Exaktnost vAznamená, že kerf =0, tj. f je injektivní. Exaktnost vCznamená, že img=C, tj.gje surjektivní. Tato posloupnost je tedy exaktní právě tehdy, když f je injektivní,gje surjektivní a imf =kerg.

2. Je-li uvažovaná posloupnost exaktní, pak platí

C∼=B/kerg=B/imf =B/f(A), přitom příslušné izomorfismy plynou z věty1.6.

Tvrzení 1.13. Přímý součet R-modulů^L_α_∈IP_α je projektivní právě tehdy, když každý jeho sčítanec je projektivní.

Důkaz. OznačmeP=^L_α_∈IP_α, dálei_α: P_α →Pkanonické vnoření a p_α: P→P_α kano-nickou projekci. Zejménap_α◦i_α =id_P_α.

„⇒“: Nechť Pje projektivní, nechťh: M→N je surjektivní homomorfismus a nechť f: P_α →Nje homomorfismus. Pak f◦p_α: P→N je homomorfismusR-modulů. Protože Pje projektivní, existuje homomorfismusg: P→Mtakový, že diagram

pα

P_α

M h ////N komutuje. Označmeϕ=g◦i_α: P_α →M, pak diagram

P_α

M h ////N komutuje,P_α je tedy projektivní.

„⇐“: Nechť jsou nyní všechny modulyP_α jsou projektivní,h: M→N je surjektivní homomorfismus a nechť je dán homomorfismus f: P→N. Protože všechny moduly P_α jsou projektivní, pro každéα existujeg_α tak, že diagram

P_α

i_α

gα

M h ////N

komutuje. Nyní stačí definovatψ =^L_α_∈Ig_αp_α a dostáváme, že diagram P

~~M

h ////N komutuje, tedyPje projektivní modul.

Důsledek 1.14. Každý volný R-modul je projektivní.

Důkaz. Protože každýR-modul je přímým součtemR-modulůR, stačí díky předchozímu tvrzení ukázat, žeR je projektivní R-modul. Nechť jsou tedy M, N libovolné R-moduly ah: M→N surjektivní homomorfismus. Nechť f: R→N je libovolný homomorfismus.

Chceme tedy naléztg: R→Mtak, aby komutoval diagram R

∃g

M h ////N .

Označmef(1) =n. Protožehje surjektivní, existujem∈Mtakové, žeh(m) =n. Definujme gpředpisem

g(x) =x·m.

Buď x∈R libovolné, pak hg(x) =h(xm) =xh(m) =xn=x f(1) = f(x), diagram tedy komutuje.

Věta 1.15. Nechť je dán R-modul P. Následující podmínky jsou ekvivalentní:

1. R-modul P je projektivní.

2. Je-li posloupnost0→A→B→P→0exaktní, pak A⊕P∼=B.

3. R-modul P je přímým sčítancem vhodného volného R-modulu.

Důkaz. 1 ⇒ 2: Nechť je posloupnost 0→ A→^f B →^g P→ 0 exaktní, nutně je tedy g surjektivní homomorfismus. Protože jePprojektivní, existujehtakové, že diagram

f //B _g ^//^//P

komutuje. Protožegh=id, je nutněhinjektivní. Chceme dokázat, žeB∼=A⊕P. Protože f,hjsou injektivní, dostávámeA∼=imf,P∼=imh.

Buďx∈Blibovolný. Označmehg(x) =y∈imh. Platí hg(x−y) =hg(x−hg(x)) =hg(x)−h gh

|{z}

id_P

g(x) =hg(x)−hg(x) =0.

Protožehje injektivní, platíg(x−y) =0. Dostáváme, žez=x−y∈kerg=imf. Odtud x=y+z, kdey∈imhaz∈imf, tj.B=imf+imh.

Nyní ukážeme, že imf ∩imh=0. Nechťt ∈imf ∩imh, pak t =h(u) pro vhodné u∈P. Protože imf =kerg, je g(t) =0, tedy g(h(u)) =0, přitom gh=id_P, nutně tedy u=0 at=0.

Použitím tvrzení1.5dostáváme, žeB=imf⊕imh∼=A⊕P.

2 ⇒ 3: Z tvrzení 1.10 víme, že každý modul je izomorfní s faktorovým modulem volného modulu. ModulPje tedy izomorfní s faktorovým modulem nějakého volného mo-duluF. Existuje proto surjektivní homomorfismus p: F→P, totiž projekce na faktorový modul složená s příslušným izomorfismem. Pro vhodný modulNje posloupnost

0→N→F →P→0 exaktní. Z podmínky2dostáváme, žeN⊕P∼=F.

3⇒1: JestližeF =P⊕Nje volný, pak je podle důsledku1.14projektivní. ProtožeP je přímý sčítanec projektivního modulu, je podle tvrzení1.13sám projektivní.

Příklad. 1. Z/6Z-modulyZ/2ZaZ/3Zjsou projektivní, vždyť jsou přímými sčítanci volného moduluZ/6Z∼=Z/2Z⊕Z/3Z. Nejsou ale volné jakoZ/6Zmoduly.

2. Uvažme Z-modul M takový, že Tor(M)6={0}, pak M není projektivní, vždyť pro-jektivní moduly jsou přímé sčítance volných modulů a volný modul nad oborem integrity má triviální torzi. Tedy žádná komutativní grupa obsahující nenulový prvek konečného řádu není projektivníZ-modul.

Věta 1.16. R-modul P je projektivní právě tehdy, když existuje množina(a_t)_t∈T prvků z P a systém(f_t)_t∈T homomorfismů R-modulů f_t: P→R takových, že pro každý prvek a∈P je jen konečně mnoho t∈T takových, že f_t(a)6=0, a navíc pro každé a∈P platí

∑

t∈T

f_t(a)a_t.

Důkaz. „⇒“: Nechť Pje projektivní R-modul. Pak z předchozího tvrzení plyne, žeP je přímým sčítancem nějakého volného R-modulu F. Díky poznámce před tvrzením 1.10 můžeme předpokládat, žeF=^L_t∈TRpro nějakou indexovou množinuT, tj.

P⊕N=^M stranách je prvek^L_t∈TR). Navíc f_t: P→Rjsou podle tvrzení1.3homomorfismy modulů.

Na obě strany rovnosti aplikujme pa dostáváme a=

∑

„⇐“: Nechť opětF=^L_t∈TRa nechť(x_t)_t∈T je množina prvků, kteráFvolně generuje.

Podle věty1.8 existuje jediný homomorfismus f: F →Ptakový, že f(x_t) =a_t. Uvažme dále homomorfismusg: P→F daný předpisem

g(a) =

∑

t∈T

f_t(a)x_t.

Zobrazení je skutečně homomorfismus, protože f_t jsou homomorfismy a jen konečně mnoho sčítanců je nenulových. Pak

f◦g(a) = f

∑

t∈T

f_t(a)x_t

∑

t∈T

f_t(a)a_t=a,

přičemž poslední rovnost je předpokladem dokazované implikace. Proto f ◦gje identita naP.

Ukážeme, že P je přímým sčítancem F. Protože f g=id_P, je nutně g injektivní a f surjektivní. JistěP∼=g f(F)⊆F. TedyPje izomorfní s img f, což je podmodul moduluF.

Nechť jex∈F libovolný, pakx= (x−g f(x)) +g f(x), kdex−g f(x)∈kerg f, vždyť g f(x−g f(x)) =g f(x)−g f g f(x) =g f(x)−g f(x) =0, a jistěg f(x)∈img f. Odtud do-stávámeF=kerg f+img f.

Nechť je nyní x ∈kerg f ∩img f, pak existuje y∈F takové, že g f(y) =x. Pak ale x=g f(y) =g f g f(y) =g f(x) =0, tedy kerg f∩img f =0. To podle tvrzení1.5 dává, že F=kerg f⊕img f ∼=kerg f⊕P. Dostáváme, žePje přímým sčítancem volného modulu, což podle tvrzení1.15znamená, žePje projektivní modul. Tímto je důkaz hotov.

Noetherovské a Dedekindovy okruhy

V této kapitole se budeme věnovat především Dedekindovým okruhům a jejich vlast-nostem. Za tímto účelem zavedeme pojem noetherovského okruhu. Poznamenejme, že noetherovský okruh nemusí být komutativní. Pro nás však případ nekomutativních okruhů nebude důležitý, proto budeme dále uvažovat pouze komutativní noetherovské okruhy.

V celé této kapitole budeme vycházet z textu [5].

Poznámka. V minulé kapitole jsme uvedli, že levé ideály okruhuRmůžeme chápat jako podmoduly levého R-modulu R. Je-li R komutativní okruh, pak jsou levé ideály právě (oboustranné) ideály. Protože v tomto případě je ideál (a₁, . . . ,a_n) generovaný prvky

a₁, . . . ,a_n∈ R roven součtu cyklických levých R-modulů Ra₁+· · ·+Ra_n i cyklických

pravýchR-modulůa₁R+· · ·+a_nR, budeme dále využívat všech tří zápisů (a₁, . . . ,a_n) =Ra₁+· · ·+Ra_n=a₁R+· · ·+a_nR.

RovnostRa_i=a_iR můžeme uvažovat díky tomu, žea_i∈R, kdeR je komutativní okruh.

Podobně budeme tuto rovnost využívat proa_i∈K, kdeKje komutativní okruh obsahující R (zejména je-li R obor integrity a K jeho podílové těleso). V těchto případech totiž {ar|r ∈R} ={ra| r∈ R}, přitom obě množiny jsou dobře definované. Pokud tento případ nenastane, budemeR-modulem i nadále rozumět levýR-modul a budeme používat příslušné značení.

2.1 Noetherovské okruhy a moduly

Definice. Komutativní okruh se nazývánoetherovský, jestliže každá rostoucí posloupnost ideálů (vzhledem k inkluzi)I₁⊂I₂⊂I₃. . . je konečná.

Tvrzení 2.1. Komutativní okruh je noetherovský právě tehdy, když je každý jeho ideál konečně generovaný.

Důkaz. „⇒“: Důkaz povedeme obměnou. BuďRokruh aIjeho ideál, který není konečně generovaný. Buďx₁∈Ilibovolný a označmeI₁= (x₁). Zvolme libovolněx₂∈I\I₁a ozna-čmeI₂= (x₁,x₂), . . . , zvolme libovolněx_n+1∈I\I_na označměI_n+1= (x₁, . . . ,x_n,x_n+1).

Volbax_npůjde udělat pro libovolnén∈N, vždyťInení konečně generovaný. Tímto postu-pem dostáváme nekonečnou rostoucí posloupnost ideálů.Rtedy není noetherovský.

– 18 –

„⇐“: BuďRokruh, jehož každý ideál je konečně generovaný. Předpokládejme sporem, že existuje nekonečná rostoucí posloupnost ideálůI₁⊂I₂⊂. . .. OznačmeI=^S_n∈_NI_n. Pro-tožeIje sjednocením do sebe vnořených ideálů, jeItaké ideál.Ije z předpokladu konečně generovaný. Každý jeho generátor leží v nějakém ideáluI_i, proto všechny generátory leží v nějakém ideáluI_k(kdekje největší z těchtoi). Pak aleI⊆I_k⊂I_k+1⊂I, což je spor.

Důsledek 2.2. Každý okruh hlavních ideálů je noetherovský.

Věta 2.3(Hilbertova věta o bázi). Jestliže R je noetherovský okruh, pak je noetherovský i okruh polynomů R[x].

Důkaz. Předpokládejme sporem, žeR[x]není noetherovský. BuďI jeho ideál, který není konečně generovaný. Označme

06= f₁∈Iminimálního stupně,(f₁)6=I, f₂∈I\(f₁)minimálního stupně,(f₁,f₂)6=I,

...

(f₁)⊂(f₁,f₂)⊂(f₁,f₂,f₃)⊂. . .

Označmea_i∈Rvedoucí koeficient an_istupeň polynomu f_i, přitom z konstrukce plyne, že n₁≤n₂≤n₃≤. . .. Jistě

(a₁)⊆(a₁,a₂)⊆(a₁,a₂,a₃)⊆. . .

ProtožeRje noetherovský, musí pro nějakék∈Nnastat(a₁, . . . ,a_k) = (a₁, . . . ,a_k,a_k+1), zejména

a_k+1=

k i=1

∑

r_ia_i pro vhodnár_i∈R. Položme

h= f_k+1−

k i=1

∑

rⁱxⁿ^k+1⁻ⁿⁱf_i∈/(f₁,f₂, . . . ,f_k).

Přitom ale sth<stf_k+1, což je spor s výběrem f_k+1. Příklad.

1. OkruhZje noetherovský, vždyťZje dokonce okruhem hlavních ideálů.

2. Každé těleso je noetherovský okruh.

3. Okruh polynomů konečně mnoha proměnných nad noetherovským okruhem je no-etherovský.

4. Okruh polynomů nekonečně mnoha proměnných x₁,x₂, . . .nad libovolným netriviál-ním okruhem není noetherovský, vždyť

(x₁)⊂(x₁,x₂)⊂(x₁,x₂,x₃)⊂. . . je nekonečná rostoucí posloupnost ideálů.

5. Okruh celých algebraických čísel (tj. čísel α ∈C, které jsou kořenem nějakého normovaného polynomu s celočíselnými koeficienty) není noetherovský, vždyť

(2)⊂(√

2)⊂(√⁴

2)⊂(√⁸

2)⊂. . . je nekonečná rostoucí posloupnost ideálů.

Definice. NechťRje komutativní okruh. Řekneme, žeR-modulMjenoetherovský, jestliže každá rostoucí posloupnost jeho podmodulůM₁⊂M₂⊂M₃⊂. . . je konečná.

Lemma 2.4. Nechť R je komutativní okruh, M, M₁, M₂jsou R-moduly takové, že posloup-nost R-modulů

0→M₁→M→M₂→0

je exaktní. Pak je M je noetherovský právě tehdy, když jsou noetherovské moduly M₁a M₂. Důkaz. „⇒“: BuďMnoetherovský a 0→M₁→M→M₂→0 exaktní. ModulM₁je vnořen doM, lze ho tedy chápat jako podmodul moduluM. Pak každý podmodul moduluM₁je též podmodulemM. Nekonečná rostoucí posloupnost podmodulů vM₁ by byla nekonečnou rostoucí posloupností podmodulů vM, což není možné.M₁je tedy noetherovský.

Předpokládejme sporem, žeM₂ není noetherovský. BuďI₁⊂I₂⊂. . . nekonečná ros-toucí posloupnost podmodulů M₂. Protože máme surjektivní homomorfismus M →M₂, můžeme uvážit úplný vzor každého z podmodulůI_j v tomto zobrazení, přitom vzor pod-modulu je podmodul podle tvrzení1.7. Protože je zobrazení surjektivní, je tato posloupnost rostoucí, což je spor s tím, žeMje noetherovský.

„⇐“: BuďteM₁,M₂noetherovské a 0→M₁→M→M₂→0 exaktní. Homomorfismus M→M₂označme f. Předpokládejme sporem, žeMnení noetherovský. BuďI₁⊂I₂⊂. . . nekonečná rostoucí posloupnost podmodulů moduluM.

Opět můžeme chápatM₁jako podmodul moduluM. Uvažme podmodulyL_j=I_j∩M₁. Z noetherovskosti moduluM₁plyne existencen₁∈Ntakového, žeL_n₁=L_n₁_+t pro všechna t∈N.

OznačmeJ_i= f(I_i). Protože J₁⊆J₂⊆. . ., existuje n₂∈Ntakové, žeJ_n₂ =J_n₂_+t pro všechnat∈N.

Označme dále f_i= f|_I_i a položmen=max{n₁,n₂}. Buďr≥nlibovolné. Dostáváme krátké exaktní posloupnosti

0 ^//I_n∩M₁^⊆ ^//I_n_{_} ^fⁿ ^//^//

⊂

J_n ^//0 0 ^//I_r∩M₁ ^⊆ ^//I_r ^f^r ^//^//J_r ^//0.

Buďa∈I_rlibovolné. Označmex= f_r(a). Protože f_nje surjektivní, existujeb∈I_ntakové, žex= f_n(b). Pak ale f_r(a−b) =0, tedya−b∈I_r∩M₁=I_n∩M₁. Odtud dostáváme, že a∈I_n. Protožea∈I_r bylo libovolné, dostávámeI_r=I_n, což je spor.

Tvrzení 2.5.

1. Přímý součet konečného počtu noetherovských modulů je noetherovský.

2. Homomorfní obraz noetherovského modulu je noetherovský.

Důkaz.

1. Nechť A, B jsou noetherovské okruhy. Protože 0→A→A⊕B→B→0 je krátká exaktní posloupnost, je podle lemmatu2.4iA⊕Bnoetherovský. Libovolné konečné součty dostaneme indukcí.

2. Buď A noetherovský a uvažme libovolný homomorfismus ϕ: A→B. Pak podle věty 1.6 je ϕ(A) ∼=A/kerϕ. Podle lemmatu 2.4 je faktormodul noetherovského modulu noetherovský.

Poznámka. Doposud jsme ukázali tvrzení o noetherovských okruzích a noetherovských modulech. Snadno lze rozmyslet, že okruh R je noetherovský právě tehdy, když je R noetherovský jakoR-modul (vždyť ideály jsou v tomto případě právě podmoduly). Nabízí se otázka, zda z noetherovskosti okruhu můžeme něco říct o noetherovskosti různých modulů nad ním. Následující věta tvrdí, že ano.

Věta 2.6. Buď R noetherovský okruh, M konečně generovaný R-modul. Pak M je noethe-rovský modul.

Důkaz. Označme generátoryM jakox₁, . . . ,x_m. V předchozí poznámce jsme rozmysleli, že R je noetherovský modul. Z tvrzení 2.5 dostáváme, že i R^m je noetherovský modul.

Uvažme y₁, . . . ,y_m∈R^m, které volně generují R^m, a homomorfismus f: R^m→M, který je dán předpisem f(y_i) =x_i (korektnost plyne z volnosti generátorůy_i, což jsme ukázali ve větě1.8). ModulMje potom homomorfním obrazem noetherovského moduluR^m, což podle tvrzení2.5znamená, žeMje noetherovský.

2.2 Lomené ideály a Dedekindovy okruhy

Definice.

1. Buď R obor integrity a K jeho podílové těleso. Lomeným ideálem R rozumíme libovolný nenulovýR-podmodulI R-modulu K takový, že existuje nenulovér∈R, pro kterérI⊆R.

2. Lomený ideál I se nazývá hlavní, jestliže je jako R-modul generovaný jediným prvkem.

3. Součinemlomených ideálůI,Jrozumíme lomený ideál I·J=

( n

∑

k=1

a_k·b_k|a_k∈I, b_k∈J,n∈N )

Nebude-li uvedeno jinak, budeme dále předpokládat, že R je obor integrity aK jeho podílové těleso.

Lemma 2.7. Nechť R je obor integrity.

1. Lomené ideály ležící v R jsou (celé) ideály okruhu R a nenulové ideály okruhu R jsou lomené ideály ležící v R.

2. Množina lomených ideálů spolu s operací násobení definovanou výše tvoří komu-tativní monoid, jehož neutrální prvek je R. Pokud k nějakému prvku existuje prvek inverzní, pak je tato inverze dána jednoznačně.

Důkaz.

1. Zřejmé, vždyť (celé) ideály jsou právě podmodulyR-moduluR.

2. Jistě pro každý lomený ideál platí, že IR=I, vždyť I je R-modul. Asociativita a komutativita se přenesou z asociativity a komutativity násobení jednotlivých prvků.

Zbývá ukázat jednoznačnost inverze. Nechť I je lomený ideál aJ,J⁰ lomené ideály k němu inverzní. PakJ=JR=J(IJ⁰) = (JI)J⁰=RJ⁰=J⁰.

Definice. Řekneme, že lomený ideál I oboru integrity R je invertibilní, jestliže existuje lomený ideálJtakový, žeI·J=R. V tomto případě značímeJ=I⁻¹.

Definice. Nechť I je lomený ideál oboru integrity R a nechť K je podílové těleso R.

MnožinouI⁰budeme rozumět množinu

{a∈K|aI⊆R}.

Lemma 2.8. Nechť R je obor integrity, I jeho lomený ideál, pak I⁰je lomený ideál takový, že II⁰⊆R. Navíc II⁰=R právě tehdy, když I je invertibilní.

Důkaz. JistěI⁰ je nenulovýR-modul. Uvažme nenulový prveky∈I. ProtožeI je lomený ideál, existuje nenulový prvekr∈Rtakový, že ry∈R. Jistěry∈R∩I. Pro každé a∈I⁰ mámeary∈R. Dostáváme, žeI⁰je lomený ideál. Jistě vždy platíII⁰⊆R.

„⇒“: Zřejmě pokudII⁰=R, jeI⁰=I⁻¹, tedyIje invertibilní.

„⇐“: Nechť jeIinvertibilní. Protože inkluzeII⁰⊆Rplatí vždy, stačí ukázat, žeR⊆II⁰. Přitom z definiceI⁰dostáváme, žeI⁻¹⊆I⁰, protoR=II⁻¹⊆II⁰.

Tvrzení 2.9. Každý hlavní lomený ideál je invertibilní a množina všech invertibilních lomených ideálů tvoří komutativní grupu vzhledem k násobení. Množina hlavních lomených ideálů tvoří podgrupu této grupy.

Důkaz. NechťIje hlavní lomený ideál, pakI=aRpro nějaké nenulovéa∈K. Pak zřejmě I⁻¹=a⁻¹R, což je opět hlavní lomený ideál.

Z lemmatu2.7dostáváme, že lomené ideály tvoří komutativní monoid vzhledem k ope-raci násobení. Množina invertibilních prvků monoidu tvoří grupu, vždyť pokud jsouI₁,I₂ invertibilní, pak inverze kI₁·I₂jeI₂⁻¹I₁⁻¹.

Konečně součinem hlavních ideálů je jistě hlavní ideál (generovaný součinem generá-torů).

Definice. Řekneme, že obor integrityRjeDedekindůvokruh, jestliže jeho každý lomený ideál je invertibilní.

Příklad. Z tvrzení2.9 plyne, že každý okruh hlavních ideálů je Dedekindův. Vždyť každý lomený ideál v okruhu hlavních ideálů je hlavní, tedy invertibilní.

Věta 2.10. Nechť R je Dedekindův okruh. Pak R je noetherovský a každý nenulový prvoideál je maximální.

Důkaz. BuďIlibovolný nenulový ideál okruhuR. JelikožRje Dedekindův, jeIinvertibilní.

ProtožeI·I⁻¹=R, existují a_i∈I ab_i∈I⁻¹proi=1,2, . . . ,mtakové, že∑^m_i=1a_i·b_i=1.

Buďx∈Ilibovolný prvek, pak jistěxb_i∈Ra dále

x=x·1= (xb₁)a₁+ (xb₂)a₂+· · ·+ (xb_n)a_n. ProtoI= (a₁,a₂, . . . ,a_n).

BuďPlibovolný nenulový prvoideál okruhuR. BuďM maximální ideál obsahujícíP.

Dostáváme PM⁻¹⊆MM⁻¹ =R, tedy PM⁻¹ je ideál okruhu R. Protože P je prvoideál a platí(PM⁻¹)·M=P, jePM⁻¹⊆PneboM⊆P(jinak by existoval prvekx∈PM⁻¹\P ay∈M\Ptakový, žexy∈P, což je spor).

První možnost dáváM⁻¹=P⁻¹PM⁻¹⊆P⁻¹P⊆R, což po vynásobeníMdáváR⊆M.

To je ale spor, vždyť M ⊂R je maximální ideál. Platí proto druhá možnost, tj. M⊆P, přitomMje maximální ideál obsahujícíP, tedyP=M.

Definice. BuďRobor integrity aLtěleso, které jej obsahuje. Prvekα ∈Lse nazývácelý nad okruhem R (takéR-celý), jestliže je kořenem normovaného polynomu s koeficienty zR.

Věta 2.11. Nechť R je obor integrity, L těleso, které jej obsahuje, a α ∈L. Následující tvrzení jsou ekvivalentní:

1. α je R-celý.

2. Okruh R[α]generovaný R aα je konečně generovaný R-modul.

3. Existuje konečně generovaný, nenulový R-modul M⊆L takový, žeαM⊆M.

Důkaz. 1⇒2: Nechť jeα R-celý. Pak existuje normovaný polynom f ∈R[x], jehož jeα kořenem, platí tedy

αⁿ+a_n−1αⁿ⁻¹+· · ·+a₁α+a₀=0.

Prvky 1,α,α², . . . ,αⁿ⁻¹proto generujíR-modulR[α].

2⇒3: Stačí uvážitM=R[α].

3⇒1: Označmez₁, . . . ,z_rgenerátoryM. ProtožeαM⊆M, existujíb_{i j}∈Rtakové, že αz₁=b₁₁z₁+· · ·+b_1rz_r,

αz₂=b₂₁z₁+· · ·+b_2rz_r, ...

αz_r=b_r1z₁+· · ·+b_rrz_r.

Převedením levých stran vpravo dostáváme následující rovnost nenulový. Sloupce matice z předešlé rovnosti jsou tedy lineárně závislé. Proto

f(x) = (−1)^r·det

je normovaný polynom s koeficienty vR, jehož kořen jeα, což jsme chtěli dokázat.

Důsledek 2.12. Nechť L je těleso a R jeho podokruh. Pak množina R-celých prvkůα∈L tvoří okruh obsahující R.

Důkaz. Nechť a,b∈L jsou R-celé. NechťM, N jsou konečně generované nenulové pod-modulyR-moduluLtakové, žeaM⊆M,bN⊆N. UvažmeR-modulMNjakožtoR-modul generovaný všemi součiny generátorů modulůMaN (tj. prvky tvarux_iy_j, kdex_ije gene-rátorMay_j je generátorN), přitom operaci násobení máme definovánu, vždyťLje těleso aM,Njsou jeho podmoduly. Jistě jeMNnenulový a konečně generovanýR-modul. Přitom (a±b)MN⊆MN a(ab)MN⊆MN, tedya+b,a−b,a·bjsouR-celé. Zřejmě libovolné α∈RjeR-celý prvek, vždyťα je kořenemx−α∈R[x].

Definice. Buď R obor integrity, K jeho podílové těleso a L libovolné těleso obsahující R. Okruh R-celých prvků α ∈L se nazývá celistvý uzávěr R v L. Okruh R se nazývá celouzavřený, je-li roven svému celistvému uzávěru vK.

Věta 2.13. Nechť R je obor integrity obsažený v tělese K. Nechť L je libovolné rozšíření tělesa K. Je-li S celistvý uzávěr okruhu R v K, pak celistvé uzávěry R a S v L splývají.

Důkaz. Nechť je dánR-celý prvekα∈L, pak existuje normovaný polynom f ∈R[x], který má kořenα. Z důsledku2.12víme, žeR⊆S. Proto je f ∈S[x], a tedyα jeS-celý.

Nechť je naopak dánS-celý prvekα∈L, pak existují prvkya₀,a₁, . . . ,a_n−1∈Stakové, žeαⁿ+a_n−1αⁿ⁻¹+· · ·+a₁α+a₀=0. Protožea_i∈SjeR-celý pro každéi∈ {0, . . . ,n−1}, je kořenem normovaného polynomu s koeficienty vR. Matematickou indukcí ukážeme, že R₁=R[a₀, . . . ,a_n−1]je konečně generovanýR-modul.

Z věty2.11plyne, žeR[a₀]je konečně generovanýR-modul.

Předpokládejme, že R[a₀, . . . ,a_i−1] je konečně generovaný R-modul, označme jeho generátoryx₁, . . . ,x_k. Protožea_i∈SjeR-celý, je kořenem normovaného polynomu s koe-ficienty zR⊆R[a₀, . . . ,a_i−1], proto a_ije téžR[a₀, . . . ,a_i−1]-celý. To podle věty2.11 zna-mená, žeR[a₀, . . . ,a_i]je konečně generovanýR[a₀, . . . ,a_i−1]-modul. Generátory označme

y₁, . . . ,y_l. Prvky x_hy_j pro h∈ {1, . . . ,k} a j∈ {1, . . . ,l} jsou pak generátory R-modulu R[a₀, . . . ,a_i].

Proto je takéR₁=R[a₀,a₁, . . . ,a_n−1]konečně generovanýR-modul. Navíc prvekα je R₁-celý, tedyR₁[α]je konečně generovaný R₁-modul. Odtud plyne, že R₁[α]je konečně generovaný R-modul (opět generovaný součiny generátorů). Zřejmě je nenulový a platí αR₁[α]⊆R₁[α]. Z3podmínky věty2.11plyne, žeα jeR-celý.

Důsledek 2.14. Každý celistvý uzávěr oboru integrity v tělese je celouzavřený.

Důkaz. Plyne z předchozí věty, když položímeK=L.

Lemma 2.15. Nechť R je noetherovský obor integrity. Nechť06=I6=R je jeho ideál. Pak v R existují prvoideály P₁,P₂, . . . ,P_r takové, že

P₁P₂. . .P_r⊆I⊆P₁∩P₂∩ · · · ∩P_r

Důkaz. Důkaz povedeme sporem. Označme I maximální prvek (vzhledem k inkluzi) množiny všech ideálů okruhu R, které tuto vlastnost nemají. Existence takového I plyne ihned z noetherovskosti okruhuR. ZřejměInení prvoideál. Existují proto prvkya,b∈R\I takové, žea·b∈I. PoložmeA=I+aRaB=I+bR. PakAB⊆I⊆A∩B. JistěA6=R6=B, vždyť pokud by například platiloA=R, pak bychom dostaliB=I, což nelze. ProtožeI⊂A aI⊂B, přičemžI byl maximální ideál, který lemma nesplňoval, musí mítAiBvlastnost z lemmatu. Proto existují prvoideályP₁, . . . ,P_rproAaQ₁, . . . ,Q_sproB. Celkem

P₁. . .P_rQ₁. . .Q_s⊆AB⊆I⊆A∩B⊆P₁∩ · · · ∩P_r∩Q₁∩ · · · ∩Q_s, což je spor s existencí ideálu, který nesplňuje tvrzení lemmatu.

Lemma 2.16. Nechť R je obor integrity, P jeho nenulový prvoideál, I₁, . . . ,I_njeho nenulové ideály. Jestliže I₁. . .I_n⊆P, pak existuje i ∈ {1, . . . ,n} takové, že I_i ⊆P. Je-li navíc I_i maximální ideál, pak P=I_i.

Důkaz. Sporem předpokládejme, že pro žádné i∈ {1, . . . ,n} neplatí I_i⊆P. Pro každé i proto existuje prvek p_i∈I_i\P. Pak

p₁. . .p_n∈I₁. . .I_n⊆P.

Protože je alePprvoideál a žádné p_iv něm neleží, nemůže v něm ležet ani jejich součin, což je spor.

Je-liI_i⊆PaI_ije maximální, pak jistěP=I_i.

Poznámka. Definovali jsme součiny lomených ideálů oboru integrityR, zejména tedy sou-činy jeho nenulových celých ideálů. Všimněme si však, že jsme v důkazu nikde nevyužili, že Rje obor integrity. Dokonce jsme ani nepotřebovali, žeI₁, . . . ,I_njsou ideály. Pokud bychom definici součinu rozšířili pro libovolný okruhRa jeho neprázdné podmnožiny (kde součin neprázdných množin je množina součinů), pak by se důkaz provedl úplně stejně. Protože se však obecnějším případem zabývat nebudeme, postačí nám slabší tvrzení předchozího lemmatu.

Lemma 2.17. Nechť R je obor integrity, který je noetherovský a celouzavřený. Nechť každý nenulový prvoideál je maximální. Pak je každý nenulový prvoideál invertibilní.

Důkaz. BuďPlibovolný nenulový prvoideál okruhuR. Nechť 06=a∈Pje takový prvek, pro který hlavní ideál aR obsahuje součin P₁P₂. . .P_r co možná nejmenšího množství nenulových prvoideálů. Existence těchto prvoideálů pro libovolný nenulový hlavní ideál plyne z lemmatu2.15. Dostáváme

P₁P₂. . .P_r⊆aR⊆P.

Podle lemmatu2.16existujei∈ {1, . . . ,r}takové, žeP_i=P, vždyťP_ije podle předpokladu věty maximální ideál. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že i=1, tedy P₁ =P.

Protože jsme prvekaa prvoideályP₁, . . . ,P_r volili tak, abyrbylo co nejmenší, nemůže být součinP₂. . .P_robsažen vaR, existuje protob∈P₂. . .P_r\aRa platí

bP⊆PP₂. . .P_r ⊆aR, tedyba⁻¹P⊆R. Připomeňme označení

P⁰={q∈K|qP⊆R},

přitom je-li P invertibilní, což chceme dokázat, je právě P⁰ jeho inverzí. Dostáváme, že ba⁻¹∈P⁰\R, tedyR⊂P⁰.

SoučinPP⁰je ideál okruhuR. Navíc

P=PR⊆PP⁰⊆R.

ProtožeP je maximální ideál, je PP⁰=P, nebo PP⁰=R. Předpokládejme, že P=PP⁰. Pak platí P(P⁰)ⁿ=P pro každé n∈N. Odtud dostáváme, že pro každé nenulové x∈P ay∈P⁰\Rplatíxyⁿ∈P⊂R. ProtoxR[y]⊆R, tedyxR[y]je ideál okruhuR. Protože jeR noetherovský, jexR[y]konečně generovaný. Označme tyto generátorya₁,a₂, . . . ,a_m. Proto máR-modulR[y]generátorya₁x⁻¹, . . . ,a_mx⁻¹. Z věty2.11dostáváme, žey∈KjeR-celé.

Protože jsme předpokládali, žeRje celouzavřený, jey∈R, což je spor. ProtoPP⁰=R, což jsme chtěli dokázat.

Lemma 2.18. Nechť R je obor integrity, který je noetherovský a celouzavřený. Nechť každý nenulový prvoideál je maximální. Pak každý ideál v I6=R lze napsat jako součin prvoideálů.

Důkaz. Předpokládejme sporem, že I6=R je ideál, který nelze napsat jako součin prvo-ideálů. ZřejměI6= (0). Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že ze všech takových ideálů právěI obsahuje součinP₁. . .P_r co možná nejmenšího počtu nenulových prvoideálů, což lze díky lemmatu2.15. OznačmePprvoideál obsahujícíI. Dostáváme

P₁. . .P_r ⊂I⊂P.

Podle lemmatu2.16existuje i∈ {1, . . . ,r} takové, žeP_i=P, vždyťP_i je maximální. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, žei=1. Navíc jePinvertibilní podle lemmatu2.17.

Proto

P₂. . .P_r⊂P⁻¹I⊂P⁻¹P=R,

přitom rovnost nastat nemůže, vždyť vynásobenímPbychom dostali rovnost i výše. Proto P⁻¹Ije ideál okruhuR, který obsahuje součin méně prvoideálů nežI. JistěP⁻¹I6=R. Proto P⁻¹Ilze reprezentovat jako součin prvoideálů, tedyP⁻¹I=Q₁. . .Q_spro nějaké prvoideály Q_i. KonečněI=PQ₁. . .Q_s, což je spor.

Věta 2.19. Nechť R je obor integrity. Následující podmínky jsou ekvivalentní:

1. R je Dedekindův okruh.

2. R je noetherovský, celouzavřený a každý nenulový prvoideál v R je maximální.

Důkaz. 1⇒2: Z věty2.10dostáváme, žeRje noetherovský a každý nenulový prvoideál je maximální. Zbývá dokázat, žeRje celouzavřený. Chceme tedy ukázat, že každýR-celý

In document B 2016D V Diplomovápráce MASARYKOVAUNIVERZITA (Stránka 21-0)