Lomené ideály a Dedekindovy okruhy

Definice.

1. Buď R obor integrity a K jeho podílové těleso. Lomeným ideálem R rozumíme libovolný nenulovýR-podmodulI R-modulu K takový, že existuje nenulovér∈R, pro kterérI⊆R.

2. Lomený ideál I se nazývá hlavní, jestliže je jako R-modul generovaný jediným prvkem.

3. Součinemlomených ideálůI,Jrozumíme lomený ideál I·J=

( n

∑

k=1

a_k·b_k|a_k∈I, b_k∈J,n∈N )

.

Nebude-li uvedeno jinak, budeme dále předpokládat, že R je obor integrity aK jeho podílové těleso.

Lemma 2.7. Nechť R je obor integrity.

1. Lomené ideály ležící v R jsou (celé) ideály okruhu R a nenulové ideály okruhu R jsou lomené ideály ležící v R.

2. Množina lomených ideálů spolu s operací násobení definovanou výše tvoří komu-tativní monoid, jehož neutrální prvek je R. Pokud k nějakému prvku existuje prvek inverzní, pak je tato inverze dána jednoznačně.

Důkaz.

1. Zřejmé, vždyť (celé) ideály jsou právě podmodulyR-moduluR.

2. Jistě pro každý lomený ideál platí, že IR=I, vždyť I je R-modul. Asociativita a komutativita se přenesou z asociativity a komutativity násobení jednotlivých prvků.

Zbývá ukázat jednoznačnost inverze. Nechť I je lomený ideál aJ,J⁰ lomené ideály k němu inverzní. PakJ=JR=J(IJ⁰) = (JI)J⁰=RJ⁰=J⁰.

Definice. Řekneme, že lomený ideál I oboru integrity R je invertibilní, jestliže existuje lomený ideálJtakový, žeI·J=R. V tomto případě značímeJ=I⁻¹.

Definice. Nechť I je lomený ideál oboru integrity R a nechť K je podílové těleso R.

MnožinouI⁰budeme rozumět množinu

{a∈K|aI⊆R}.

Lemma 2.8. Nechť R je obor integrity, I jeho lomený ideál, pak I⁰je lomený ideál takový, že II⁰⊆R. Navíc II⁰=R právě tehdy, když I je invertibilní.

Důkaz. JistěI⁰ je nenulovýR-modul. Uvažme nenulový prveky∈I. ProtožeI je lomený ideál, existuje nenulový prvekr∈Rtakový, že ry∈R. Jistěry∈R∩I. Pro každé a∈I⁰ mámeary∈R. Dostáváme, žeI⁰je lomený ideál. Jistě vždy platíII⁰⊆R.

„⇒“: Zřejmě pokudII⁰=R, jeI⁰=I⁻¹, tedyIje invertibilní.

„⇐“: Nechť jeIinvertibilní. Protože inkluzeII⁰⊆Rplatí vždy, stačí ukázat, žeR⊆II⁰. Přitom z definiceI⁰dostáváme, žeI⁻¹⊆I⁰, protoR=II⁻¹⊆II⁰.

Tvrzení 2.9. Každý hlavní lomený ideál je invertibilní a množina všech invertibilních lomených ideálů tvoří komutativní grupu vzhledem k násobení. Množina hlavních lomených ideálů tvoří podgrupu této grupy.

Důkaz. NechťIje hlavní lomený ideál, pakI=aRpro nějaké nenulovéa∈K. Pak zřejmě I⁻¹=a⁻¹R, což je opět hlavní lomený ideál.

Z lemmatu2.7dostáváme, že lomené ideály tvoří komutativní monoid vzhledem k ope-raci násobení. Množina invertibilních prvků monoidu tvoří grupu, vždyť pokud jsouI₁,I₂ invertibilní, pak inverze kI₁·I₂jeI₂⁻¹I₁⁻¹.

Konečně součinem hlavních ideálů je jistě hlavní ideál (generovaný součinem generá-torů).

Definice. Řekneme, že obor integrityRjeDedekindůvokruh, jestliže jeho každý lomený ideál je invertibilní.

Příklad. Z tvrzení2.9 plyne, že každý okruh hlavních ideálů je Dedekindův. Vždyť každý lomený ideál v okruhu hlavních ideálů je hlavní, tedy invertibilní.

Věta 2.10. Nechť R je Dedekindův okruh. Pak R je noetherovský a každý nenulový prvoideál je maximální.

Důkaz. BuďIlibovolný nenulový ideál okruhuR. JelikožRje Dedekindův, jeIinvertibilní.

ProtožeI·I⁻¹=R, existují a_i∈I ab_i∈I⁻¹proi=1,2, . . . ,mtakové, že∑^m_i=1a_i·b_i=1.

Buďx∈Ilibovolný prvek, pak jistěxb_i∈Ra dále

x=x·1= (xb₁)a₁+ (xb₂)a₂+· · ·+ (xb_n)a_n. ProtoI= (a₁,a₂, . . . ,a_n).

BuďPlibovolný nenulový prvoideál okruhuR. BuďM maximální ideál obsahujícíP.

Dostáváme PM⁻¹⊆MM⁻¹ =R, tedy PM⁻¹ je ideál okruhu R. Protože P je prvoideál a platí(PM⁻¹)·M=P, jePM⁻¹⊆PneboM⊆P(jinak by existoval prvekx∈PM⁻¹\P ay∈M\Ptakový, žexy∈P, což je spor).

První možnost dáváM⁻¹=P⁻¹PM⁻¹⊆P⁻¹P⊆R, což po vynásobeníMdáváR⊆M.

To je ale spor, vždyť M ⊂R je maximální ideál. Platí proto druhá možnost, tj. M⊆P, přitomMje maximální ideál obsahujícíP, tedyP=M.

Definice. BuďRobor integrity aLtěleso, které jej obsahuje. Prvekα ∈Lse nazývácelý nad okruhem R (takéR-celý), jestliže je kořenem normovaného polynomu s koeficienty zR.

Věta 2.11. Nechť R je obor integrity, L těleso, které jej obsahuje, a α ∈L. Následující tvrzení jsou ekvivalentní:

1. α je R-celý.

2. Okruh R[α]generovaný R aα je konečně generovaný R-modul.

3. Existuje konečně generovaný, nenulový R-modul M⊆L takový, žeαM⊆M.

Důkaz. 1⇒2: Nechť jeα R-celý. Pak existuje normovaný polynom f ∈R[x], jehož jeα kořenem, platí tedy

αⁿ+a_n−1αⁿ⁻¹+· · ·+a₁α+a₀=0.

Prvky 1,α,α², . . . ,αⁿ⁻¹proto generujíR-modulR[α].

2⇒3: Stačí uvážitM=R[α].

3⇒1: Označmez₁, . . . ,z_rgenerátoryM. ProtožeαM⊆M, existujíb_{i j}∈Rtakové, že αz₁=b₁₁z₁+· · ·+b_1rz_r,

αz₂=b₂₁z₁+· · ·+b_2rz_r, ...

αz_r=b_r1z₁+· · ·+b_rrz_r.

Převedením levých stran vpravo dostáváme následující rovnost nenulový. Sloupce matice z předešlé rovnosti jsou tedy lineárně závislé. Proto

f(x) = (−1)^r·det

je normovaný polynom s koeficienty vR, jehož kořen jeα, což jsme chtěli dokázat.

Důsledek 2.12. Nechť L je těleso a R jeho podokruh. Pak množina R-celých prvkůα∈L tvoří okruh obsahující R.

Důkaz. Nechť a,b∈L jsou R-celé. NechťM, N jsou konečně generované nenulové pod-modulyR-moduluLtakové, žeaM⊆M,bN⊆N. UvažmeR-modulMNjakožtoR-modul generovaný všemi součiny generátorů modulůMaN (tj. prvky tvarux_iy_j, kdex_ije gene-rátorMay_j je generátorN), přitom operaci násobení máme definovánu, vždyťLje těleso aM,Njsou jeho podmoduly. Jistě jeMNnenulový a konečně generovanýR-modul. Přitom (a±b)MN⊆MN a(ab)MN⊆MN, tedya+b,a−b,a·bjsouR-celé. Zřejmě libovolné α∈RjeR-celý prvek, vždyťα je kořenemx−α∈R[x].

Definice. Buď R obor integrity, K jeho podílové těleso a L libovolné těleso obsahující R. Okruh R-celých prvků α ∈L se nazývá celistvý uzávěr R v L. Okruh R se nazývá celouzavřený, je-li roven svému celistvému uzávěru vK.

Věta 2.13. Nechť R je obor integrity obsažený v tělese K. Nechť L je libovolné rozšíření tělesa K. Je-li S celistvý uzávěr okruhu R v K, pak celistvé uzávěry R a S v L splývají.

Důkaz. Nechť je dánR-celý prvekα∈L, pak existuje normovaný polynom f ∈R[x], který má kořenα. Z důsledku2.12víme, žeR⊆S. Proto je f ∈S[x], a tedyα jeS-celý.

Nechť je naopak dánS-celý prvekα∈L, pak existují prvkya₀,a₁, . . . ,a_n−1∈Stakové, žeαⁿ+a_n−1αⁿ⁻¹+· · ·+a₁α+a₀=0. Protožea_i∈SjeR-celý pro každéi∈ {0, . . . ,n−1}, je kořenem normovaného polynomu s koeficienty vR. Matematickou indukcí ukážeme, že R₁=R[a₀, . . . ,a_n−1]je konečně generovanýR-modul.

Z věty2.11plyne, žeR[a₀]je konečně generovanýR-modul.

Předpokládejme, že R[a₀, . . . ,a_i−1] je konečně generovaný R-modul, označme jeho generátoryx₁, . . . ,x_k. Protožea_i∈SjeR-celý, je kořenem normovaného polynomu s koe-ficienty zR⊆R[a₀, . . . ,a_i−1], proto a_ije téžR[a₀, . . . ,a_i−1]-celý. To podle věty2.11 zna-mená, žeR[a₀, . . . ,a_i]je konečně generovanýR[a₀, . . . ,a_i−1]-modul. Generátory označme

y₁, . . . ,y_l. Prvky x_hy_j pro h∈ {1, . . . ,k} a j∈ {1, . . . ,l} jsou pak generátory R-modulu R[a₀, . . . ,a_i].

Proto je takéR₁=R[a₀,a₁, . . . ,a_n−1]konečně generovanýR-modul. Navíc prvekα je R₁-celý, tedyR₁[α]je konečně generovaný R₁-modul. Odtud plyne, že R₁[α]je konečně generovaný R-modul (opět generovaný součiny generátorů). Zřejmě je nenulový a platí αR₁[α]⊆R₁[α]. Z3podmínky věty2.11plyne, žeα jeR-celý.

Důsledek 2.14. Každý celistvý uzávěr oboru integrity v tělese je celouzavřený.

Důkaz. Plyne z předchozí věty, když položímeK=L.

Lemma 2.15. Nechť R je noetherovský obor integrity. Nechť06=I6=R je jeho ideál. Pak v R existují prvoideály P₁,P₂, . . . ,P_r takové, že

P₁P₂. . .P_r⊆I⊆P₁∩P₂∩ · · · ∩P_r

Důkaz. Důkaz povedeme sporem. Označme I maximální prvek (vzhledem k inkluzi) množiny všech ideálů okruhu R, které tuto vlastnost nemají. Existence takového I plyne ihned z noetherovskosti okruhuR. ZřejměInení prvoideál. Existují proto prvkya,b∈R\I takové, žea·b∈I. PoložmeA=I+aRaB=I+bR. PakAB⊆I⊆A∩B. JistěA6=R6=B, vždyť pokud by například platiloA=R, pak bychom dostaliB=I, což nelze. ProtožeI⊂A aI⊂B, přičemžI byl maximální ideál, který lemma nesplňoval, musí mítAiBvlastnost z lemmatu. Proto existují prvoideályP₁, . . . ,P_rproAaQ₁, . . . ,Q_sproB. Celkem

P₁. . .P_rQ₁. . .Q_s⊆AB⊆I⊆A∩B⊆P₁∩ · · · ∩P_r∩Q₁∩ · · · ∩Q_s, což je spor s existencí ideálu, který nesplňuje tvrzení lemmatu.

Lemma 2.16. Nechť R je obor integrity, P jeho nenulový prvoideál, I₁, . . . ,I_njeho nenulové ideály. Jestliže I₁. . .I_n⊆P, pak existuje i ∈ {1, . . . ,n} takové, že I_i ⊆P. Je-li navíc I_i maximální ideál, pak P=I_i.

Důkaz. Sporem předpokládejme, že pro žádné i∈ {1, . . . ,n} neplatí I_i⊆P. Pro každé i proto existuje prvek p_i∈I_i\P. Pak

p₁. . .p_n∈I₁. . .I_n⊆P.

Protože je alePprvoideál a žádné p_iv něm neleží, nemůže v něm ležet ani jejich součin, což je spor.

Je-liI_i⊆PaI_ije maximální, pak jistěP=I_i.

Poznámka. Definovali jsme součiny lomených ideálů oboru integrityR, zejména tedy sou-činy jeho nenulových celých ideálů. Všimněme si však, že jsme v důkazu nikde nevyužili, že Rje obor integrity. Dokonce jsme ani nepotřebovali, žeI₁, . . . ,I_njsou ideály. Pokud bychom definici součinu rozšířili pro libovolný okruhRa jeho neprázdné podmnožiny (kde součin neprázdných množin je množina součinů), pak by se důkaz provedl úplně stejně. Protože se však obecnějším případem zabývat nebudeme, postačí nám slabší tvrzení předchozího lemmatu.

Lemma 2.17. Nechť R je obor integrity, který je noetherovský a celouzavřený. Nechť každý nenulový prvoideál je maximální. Pak je každý nenulový prvoideál invertibilní.

Důkaz. BuďPlibovolný nenulový prvoideál okruhuR. Nechť 06=a∈Pje takový prvek, pro který hlavní ideál aR obsahuje součin P₁P₂. . .P_r co možná nejmenšího množství nenulových prvoideálů. Existence těchto prvoideálů pro libovolný nenulový hlavní ideál plyne z lemmatu2.15. Dostáváme

P₁P₂. . .P_r⊆aR⊆P.

Podle lemmatu2.16existujei∈ {1, . . . ,r}takové, žeP_i=P, vždyťP_ije podle předpokladu věty maximální ideál. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že i=1, tedy P₁ =P.

Protože jsme prvekaa prvoideályP₁, . . . ,P_r volili tak, abyrbylo co nejmenší, nemůže být součinP₂. . .P_robsažen vaR, existuje protob∈P₂. . .P_r\aRa platí

bP⊆PP₂. . .P_r ⊆aR, tedyba⁻¹P⊆R. Připomeňme označení

P⁰={q∈K|qP⊆R},

přitom je-li P invertibilní, což chceme dokázat, je právě P⁰ jeho inverzí. Dostáváme, že ba⁻¹∈P⁰\R, tedyR⊂P⁰.

SoučinPP⁰je ideál okruhuR. Navíc

P=PR⊆PP⁰⊆R.

ProtožeP je maximální ideál, je PP⁰=P, nebo PP⁰=R. Předpokládejme, že P=PP⁰. Pak platí P(P⁰)ⁿ=P pro každé n∈N. Odtud dostáváme, že pro každé nenulové x∈P ay∈P⁰\Rplatíxyⁿ∈P⊂R. ProtoxR[y]⊆R, tedyxR[y]je ideál okruhuR. Protože jeR noetherovský, jexR[y]konečně generovaný. Označme tyto generátorya₁,a₂, . . . ,a_m. Proto máR-modulR[y]generátorya₁x⁻¹, . . . ,a_mx⁻¹. Z věty2.11dostáváme, žey∈KjeR-celé.

Protože jsme předpokládali, žeRje celouzavřený, jey∈R, což je spor. ProtoPP⁰=R, což jsme chtěli dokázat.

Lemma 2.18. Nechť R je obor integrity, který je noetherovský a celouzavřený. Nechť každý nenulový prvoideál je maximální. Pak každý ideál v I6=R lze napsat jako součin prvoideálů.

Důkaz. Předpokládejme sporem, že I6=R je ideál, který nelze napsat jako součin prvo-ideálů. ZřejměI6= (0). Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že ze všech takových ideálů právěI obsahuje součinP₁. . .P_r co možná nejmenšího počtu nenulových prvoideálů, což lze díky lemmatu2.15. OznačmePprvoideál obsahujícíI. Dostáváme

P₁. . .P_r ⊂I⊂P.

Podle lemmatu2.16existuje i∈ {1, . . . ,r} takové, žeP_i=P, vždyťP_i je maximální. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, žei=1. Navíc jePinvertibilní podle lemmatu2.17.

Proto

P₂. . .P_r⊂P⁻¹I⊂P⁻¹P=R,

přitom rovnost nastat nemůže, vždyť vynásobenímPbychom dostali rovnost i výše. Proto P⁻¹Ije ideál okruhuR, který obsahuje součin méně prvoideálů nežI. JistěP⁻¹I6=R. Proto P⁻¹Ilze reprezentovat jako součin prvoideálů, tedyP⁻¹I=Q₁. . .Q_spro nějaké prvoideály Q_i. KonečněI=PQ₁. . .Q_s, což je spor.

Věta 2.19. Nechť R je obor integrity. Následující podmínky jsou ekvivalentní:

1. R je Dedekindův okruh.

2. R je noetherovský, celouzavřený a každý nenulový prvoideál v R je maximální.

Důkaz. 1⇒2: Z věty2.10dostáváme, žeRje noetherovský a každý nenulový prvoideál je maximální. Zbývá dokázat, žeRje celouzavřený. Chceme tedy ukázat, že každýR-celý prvek leží vR. Buď tedya∈K libovolnýR-celý prvek. Z věty2.11dostáváme, že okruh R[a]je konečně generovanýR-modul. Označme jeho generátorya₁, . . . ,a_ma vybermeb6=0 takové, žeba_i∈Rpro 1≤i≤m. Jistě potombR[a]⊆R, tedyR[a]je lomený ideál. Protože je dokonceR[a]okruh, jeR[a]·R[a] =R[a]. Dostáváme

R[a] =R[a]·R=R[a]·R[a]·(R[a])⁻¹=R[a]·(R[a])⁻¹=R, tedya∈R, což jsme chtěli dokázat.

2 ⇒ 1: Chceme ukázat, že každý lomený ideál je invertibilní. Buď tedy I libovolný lomený ideál okruhuR. Pak existuje nenulové a∈Rtakové, žeaI⊆R. Je-liaI =R, pak I=a⁻¹Rje hlavní lomený ideál, který je podle tvrzení2.9invertibilní. Nechť dáleaI⊂R.

ProtožeaIje ideál okruhuR, lze podle předchozího lemmatu napsat jako součin vhodných prvoideálů, tedyaI=P₁. . .P_r. Odtud

I=a⁻¹P₁. . .P_s= (a⁻¹R)P₁. . .P_s.

Napsali jsmeIjako součin invertibilních lomených ideálů, proto jeItaké invertibilní.

Věta 2.20. Nechť R je Dedekindův okruh,06=I6=R jeho ideál. Pak I lze napsat jako součin prvoideálů a to jednoznačně až na pořadí.

Důkaz. Z lemmatu 2.18dostáváme existenci zápisu. Zbývá dokázat jednoznačnost. Buď tedy{0} 6=I6=Rlibovolný ideál takový, že lze zapsat dvěma různými způsoby jako součin prvoideálů

I=P₁. . .P_r=Q₁. . .Q_s,

a to takový, že číslor∈Nje pro všechny ideály mající dvě různá vyjádření jako součiny prvoideálů co nejmenší možné (přitom jiné pořadí v zápisu prvoideálů považujeme za stejné vyjádření).

JistěQ₁. . .Q_s⊆P₁, proto podle lemmatu2.16existujei∈ {1, . . . ,s}takové, žeQ_i=P₁. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, žei=1, tj.P₁=Q₁. Proto

P₂. . .P_r=P₁⁻¹P₁. . .P_r=P₁⁻¹Q₁. . .Q_s=Q₂. . .Q_s.

Proto i ideálP₂. . .P_r =Q₂. . .Q_s má dvě různé faktorizace. To je ale spor s volbouI, kdy jsme minimalizovalir.

Důsledek 2.21. Grupa všech lomených ideálů v Dedekindově okruhu je volná abelovská grupa generovaná nenulovými prvoideály.

Důkaz. NechťAje libovolný lomený ideál okruhuR. Pak existujea∈Rtakové, žeaA⊆R, tedyaAje ideál vR. Dostáváme

A= (aR)⁻¹·(aA),

kdeaRiaAmůžeme zapsat jako součin prvoideálů. ProtoAlze zapsat jako součin mocnin prvoideálů s celočíselnými exponenty. Proto nenulové prvoideály generují grupu všech lomených ideálů. Z věty2.20plyne, že ji generují volně.

Poznámka. Již dříve jsme zmínili, že abelovské grupy jsou právěZ-moduly. Volná abelov-ská grupaGje pak volnýZ-modul, tj. můžeme psát

G=^M

a∈A

Z

pro vhodnou indexovou množinuA.

Důsledek 2.22. Buď R Dedekindův okruh. Každý lomený ideál I lze zapsat jednoznačně ve tvaru

I=

∏

(0)⊂P⊂R P je prvoideál

P^a(P),

kde jen konečně mnoho koeficientů a(P)∈Zje nenulových.

Důkaz. Plyne z důsledku2.21a předchozí poznámky.

In document B 2016D V Diplomovápráce MASARYKOVAUNIVERZITA (Stránka 29-36)