7. Gravita ní pole a pohyb t les v n m

v0

7. Gravita ní pole a pohyb t les v n m

Gravita ní pole - existuje v okolí každého hmotného t lesa - p edstavuje formu hmoty

- zprost edkovává vzájemné silové p sobení mezi t lesy

Všeobecný gravita ní zákon (Newton v): Dva hmotné body se navzájem p itahují stejn velkými gravita ními silami opa ného sm ru. Velikost gravita ní síly Fg je p ímo úm rná sou inu hmotností m1,m2 hmotných bod a nep ímo úm rná druhé mocnin jejich vzdálenosti r (konstantou úm rnosti je gravita ní konstanta = 6,67 . 10 ^-11 N.m².kg^-2):

Fg = . ¹.₂ ² r

m m

Pozn. Stejnými silami se tedy p itahují nap . Slunce a Zem , Zem a M síc, Zem a kterékoliv t leso na jejím povrchu …!

Popis gravita ního pole Zem : 1) intenzita gravita ního pole – vektorová veli ina definovaná jako podíl gravita ní síly Fg, která v daném míst pole p sobí na hmotný bod o hmotnosti m, a hmotnosti m tohoto bodu: K =

m F_g

= . ₂ r M_Z

.

- – vektorové pole, p íp. silo árový model

(silo ára je myšlená ára, jejíž te na v daném bod ur uje sm r intenzity pole) - radiální (centrální) pole – p . gravita ní pole Zem

- intenzita K gravita ního pole v jeho daném míst se rovná gravita nímu zrychlenía , _g které v tomto míst ud luje hmotnému bodu gravita ní síla (pozn. srovnej gravita ní a tíhové zrychlení p i povrchu Zem )

2) gravita ní potenciál – skalární veli ina definovaná jako podíl gravita ní potenciální energie Ep t lesa v tomto bod (ta je ur ena prací, kterou vykoná gravita ní síla p i p emíst ní t lesa z tohoto místa na povrch Zem Ep = W = m.K.h = m.ag.h) a hmotnosti m tohoto t lesa: g=

m E_p

.

- – skalární pole vytvo ené pomocí

ekvipotenciálních ploch (hladin potenciálu).

Pohyby t les v homogenním tíhovém poli Zem : a) jednoduchý – volný pád

b) složené (vrhy)- z volného pádu

- z rovnom rného p ímo arého pohybu ve sm ru vektoru po áte ní rychlosti 1)

V …….. T = g v₀

, v = 0 m.s^-1 , s = H = g v

. 2

2

0

M …….. t , v = v0 – g.t , s = v0.t - 2 1.g.t²

S ……… t = 0 s, v = v₀ , s = 0 m

vx

vx

v y v

x

vx

v y v⁰

. 2)

y

S ….. t = 0 s, vx = v0, vy = 0, v = v0, x = 0 m, y = H

M ……… t , vx = v0, vy = g.t, v = v₀² +( tg.)² , x = v0.t, y = H -

2 1g.t²

O D …..T = g

H

2 , v_x = v₀, v_y = g.T = 2Hg,

v = v₀²+2Hg

x = d = v0.

g H

2 , y = 0 m 3)

y

parabola

balistická k ivka

x v_x = v₀.cos ; v_y = v₀sin

Okamžitá rychlost je dána vektorovým sou tem svislé a vodorovné rychlosti.

Okamžitá svislá rychlost v ase t se ur í stejn jako u svislého vrhu vzh ru, vodorovná rychlost je stále stejná: vxt = v0.cos ; vyt = v0sin – g.t

Poloha t lesa v libovolném okamžiku:

Významná hodnota šikmého vrhu je délka vrhu, ve vojenské terminologii dost el.

T_d – doba vrhu. Ur í se z podmínky, že v nejvyšším bod trajektorie je v_y = 0:

0 = v0sin – g.

2 Td

. Odsud Td = g v .sinα .

2 ₀

. Délka vrhu je pak:

D = vx.Td = v0.Td.cos =

g v .sinα.cosα 2 ₀²

= g

v₀².sin2α

Pozn.: Délka vrhu bude nejv tší pro úhel 45°, stejná délka vrhu je pak pro dvojice α a 90° – α, tzn. nap . pro 15° a 75° nebo 30° a 60°.

v0

v0

Pohyby t les v radiálním gravita ním poli Zem :

U pohyb raket, družic nebo kosmických lodí se musí po ítat s tím, že se pohybují už v radiálním poli. Trajektorie družice závisí na její rychlosti:

1. Pom rn malá po áte ní rychlost – t leso se pohybuje

po ásti elipsy než narazí na povrch Zem . ást elipsy 1 2 3 se zv tšuje s rychlostí t lesa.

2. P i v tších rychlostech už t leso na zemský povrch

nedopadne, ale opíše celou elipsu. RZ

3. P i po áte ní rychlosti vk – kruhová rychlost – už t leso

opisuje kružnici se st edem ve st edu Zem . Na toto t leso p sobí jednak zemská gravitace Fg jednak odst edivá síla Fo. Tyto síly jsou v rovnováze.

P i povrchu Zem je vk = 7,9 km ⋅⋅⋅⋅ s^–1, což je P

první kosmická rychlost. 5

4. P i rychlostech vyšších je trajektorie op t eliptická.

Rovina elipsy prochází st edem Zem , v n mž leží

jedno její ohnisko. Bod P, v kterém má t leso nejmenší vzdálenost od Zem , se nazývá perigeum,

bod A, v kterém má t leso vzdálenost nejv tší, apogeum. S rostoucí rychlostí je elipsa protáhlejší.

v0 = vk

4

5. P i po áte ní rychlosti o velikosti vk<v0<vp

se eliptická trajektorie m ní na parabolu a t leso se

vzdaluje od Zem . Rychlost v_p se nazývá parabolická, A úniková. Pro uvedenou vk = 7,9 km ⋅ s^–1 je vp = 11,2 km ⋅⋅⋅⋅ s^–1, což je druhá kosmická rychlost.

6. Než t leso dosáhne další, t etí kosmické rychlosti v3 = 42 km.s^-1 (s využitím pohybu

Zem v3 = 16,7 km.s^-1), pohybuje se stále v gravita ním poli Slunce. P i dosažení t etí kosmické rychlosti opouští Slune ní soustavu.

Pohyby planet okolo Slunce se ídí Keplerovými zákony.

Keplerovy zákony:

1. Zákon ob žných drah (popisuje tvar trajektorie planet):

Planety obíhají kolem Slunce po elipsách málo se lišících od kružnic, jejichž spole ným ohniskem je Slunce.

Vrchol elipsy P, v n mž je planeta Slunci nejblíže, se nazývá perihélium (p ísluní), vrchol A, v n mž je planeta od Slunce nejdále, afélium (odsluní).

2. Zákon plošných rychlostí (vysv tluje, jak se planety pohybují):

Plochy opsané pr vodi em planety za jednotku asu jsou konstantní.

Pr vodi je úse ka, která spojuje st ed planety se st edem Slunce.

D sledek tohoto zákona je, že planety se v perihéliu pohybují rychleji než v aféliu.

3. Zákon ob žných dob (uvádí vztah mezi ob žnými dobami planet a hlavními poloosami jejich trajektorií):

Pom r druhých mocnin ob žných dob planet je roven pom ru t etích mocnin jejich hlavních poloos.

Uvažujeme-li že se planety pohybují po elipsách málo odlišných od kružnic, lze místo poloos dosadit st ední vzdálenost od Slunce a vztah p ibližn odpovídá.

Keplerovy zákony neplatí pouze pro planety ve slune ní soustav , ale i pro t lesa obíhající okolo Zem (M síc, satelity, … )