Pro kalkulaci nákladů na pojistné plnění, potřebujeme znát příčiny jejich vzniku, což je v případě životního pojištění buď úmrtí anebo dožití jedince, záleží na typu životního pojištění.
Pro zjištění frekvence těchto jevů slouží úmrtnostní tabulka, jež patří k základním nástrojům pojistné matematiky. Východiskem pro výpočet jednotlivých funkcí uvedených v úmrtností tabulce jsou pravděpodobnosti úmrtí ve věku x značené jako qx (tzn. pravděpodobnost, že člověk ve věku x se nedožije věku x+1) a pravděpodobnosti dožití věku x+1: px (px = 1-qx).
Pojišťovny si mohou buď na základě vlastních dat o úmrtnosti ve svém pojistném kmenu zkonstruovat své úmrtnostní tabulky anebo podle svých potřeb upraví celonárodní úmrtnostní tabulky (u nás vydávané Českým statistickým úřadem). Druhý postup bývá častější.
Podíváme-li se na úmrtnostní tabulky pro ČR, zjistíme že průběh pravděpodobnosti úmrtí vykazuje rysy typické pro současné úmrtnostní tabulky vyspělých zemí.
Graf 2.1: Pravděpodobnosti úmrtí pro muže qx a ženy qy v ČR v roce 2005 (v logaritmickém měřítku)
0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Věk
Pravděpodobnost
qx qy
Zdroj dat: Podrobné úmrtnostní tabulky za ČR v roce 2005 ČR
V prvních letech života je úmrtnost relativně vysoká vzhledem k riziku porodu, kojeneckým a především vrozeným nemocem. V následujících dětských letech je úmrtnost minimální. Od třinácti let dochází k nárůstu úmrtnosti. Její výše pak zůstává stabilní zhruba od dvaceti do třiceti let (často v tomto věkovém rozmezí úmrtnost i mírně klesá). Zajímavým jevem vyskytujícím se zvlášť u mužské populace je tzv. „accident hump“ („nehodový hrb“), kterého si můžeme povšimnout okolo dvacátého roku. Tento jev se přisuzuje především nehodám a jiným úrazům se smrtelnými následky a také drogám a sebevraždám v období dospívání. Od třicítky dochází k exponenciálnímu růstu úmrtnosti.
Při používání úmrtnostních tabulek si musíme uvědomit některé důležité aspekty:
1. Proměnlivost úmrtnosti v čase:
V populacích vyspělých zemí včetně České republiky se v čase snižuje úmrtnost. Protože jsou úmrtnostní tabulky vždy zkonstruovány na základě dat o úmrtnosti za jeden anebo několik málo (tří) let, nemůžeme v důsledku změn úmrtnosti v čase očekávat, že v nich nalezneme úmrtnostní charakteristiky průměrného jedince. Např. pravděpodobnost úmrtí člověka ve věku 50 let činila v roce 2005 q50 = 0,006572, ale pravděpodobnost úmrtí ve věku 50 pro současného třicátníka (tedy v roce 2025) bude jiná, s největší pravděpodobností nižší. Z tohoto důvodu se konstruují generační úmrtnostní tabulky, které odhadují pravděpodobnosti úmrtí pro jednotlivé věky pro různé ročníky narození.
Tab. 2.1:. Vývoj pravděpodobnosti úmrtí mužů pro vybrané věky od přelomu 19. a 20. století
Věk/rok 0 10 20 30 40 50 60 70 80
1899/1902 0,248170 0,003050 0,007490 0,008040 0,011670 0,018810 0,034370 0,073980 0,162070 1909/1912 0,210180 0,002540 0,007060 0,007280 0,011190 0,018090 0,033740 0,072750 0,165550 1920/1922 0,186014 0,002145 0,006275 0,006108 0,008151 0,013924 0,028012 0,064593 0,156673 1929/1931 0,129860 0,001850 0,004220 0,004510 0,007040 0,012930 0,026120 0,059540 0,142450 1949/1951 0,069212 0,000867 0,002240 0,002588 0,003950 0,009872 0,024347 0,055361 0,124910 1960/1961 0,022716 0,000450 0,001748 0,001666 0,003017 0,007349 0,023158 0,054795 0,126434 1971 0,024263 0,000441 0,001606 0,001803 0,003571 0,009494 0,024069 0,065829 0,137619 1981 0,017356 0,000364 0,001158 0,001627 0,003269 0,009395 0,025706 0,058567 0,142171 1991 0,011662 0,002670 0,001177 0,001417 0,003341 0,009479 0,024156 0,056241 0,125272 2001 0,004537 0,000164 0,001029 0,001090 0,002296 0,007155 0,017440 0,041050 0,098463 2005 0,004015 0,000151 0,000933 0,001073 0,002112 0,006572 0,017236 0,037518 0,093752 2006 0,003911 0,000167 0,000909 0,000865 0,001988 0,006209 0,016186 0,035057 0,088397 Zdroj: [6] Cipra, T.: Pojistná matematika, teorie a praxe, str. 117
Podrobné úmrtnostní tabulky za ČR – muži, roky 2001, 2005 a 2006
2. Rozdílná úmrtnost mužů a žen:
V téměř celém věkovém rozsahu (až do věku okolo 90) převyšuje úmrtnost mužská úmrtnost ženskou (viz Graf 2.1). V praxi se proto často používají jiné úmrtnostní tabulky pro muže a jiné pro ženy – tento přístup je přirozený a nejpřesnější. Některé životní pojišťovny používají úmrtnostní tabulky pro jedno pohlaví a pro druhé pohlaví získají hodnoty vhodným věkovým posunutím (některé pojišťovny na našem trhu používají jen mužské úmrtnostní tabulky a pro ženy zvolí věkový posun o 5 let).
3. Problematika selekce a antiselekce:
• Pojišťovny uplatňují princip selekce při uzavírání rizikových pojištění (pojištění pro případ smrti). Před uzavřením pojištění vyžadují vstupní lékařskou prohlídku či alespoň (při nižších pojistných částkách) vyplněný zdravotní dotazník podepsaný klientem (ten může v případě nepravdivých údajů podkladem pro např. snížení pojistného plnění).
Princip selekce vede nadprůměrnému zdravotnímu stavu pojištěných, a tedy k nižší úmrtnosti než průměrné. Pojišťovny samozřejmě přijímají i klienty se zvýšeným zdravotním rizikem, ale za zvýšené pojistné.
• U důchodových pojištění může pojišťovna počítat s tím, že samotní klienti budou nadprůměrně zdraví, neboť klient se zdravotními problémy si obvykle nesjedná důchodové pojištění. Takový výběr působí v neprospěch pojišťovny a mluvíme tedy o principu antiselekce.
4. Bezpečnostní přirážka:
Životní pojišťovna musí při kalkulaci pojistného počítat s tím, že skutečná úmrtnost může být odlišná od úmrtnosti v úmrtnostních tabulkách. Úmrtnostní tabulky jsou totiž konstruovány statisticky a podléhají tedy, jako každý statistický odhad, chybám statistických odhadů. Dále musí pojišťovny respektovat vývoj úmrtnosti v čase a možnou antiselekci. Pojišťovny proto používají implicitní bezpečností přirážky při kalkulaci pojistného. Mezi časté postupy patří věkový posun ve prospěch pojišťovny – „omládnutí“
klienta v případě důchodového pojištění a nebo naopak „zestárnutí“ klienta v případě produktu kryjícím riziko smrti. Jinou možností je zvýšení (u rizikových pojištění) či snížení (u pojištění důchodových) úmrtnosti qx o hodnotu sx, která vyplývá z vlastností statistického odhadu.
2.1.1 Generační úmrtnostní tabulky
Již byla zmíněna potřeba konstrukce generačních úmrtnostních tabulek v důsledku klesající úmrtnosti. Jejich primární využití je pro důchodové pojištění a penzijní připojištění, neboť v nich vzniká pro pojišťovnu riziko podúmrtnosti (nižší úmrtnost znamená v průměru delší dobu výplaty důchodu či penze). Generační úmrtnostní tabulky zkonstruované pro důchodové pojištění a penzijní připojištění navíc zohledňují princip antiselekce. Jeden z možných přístupů navrhuje [4] Cipra, T.: Generační úmrtnostní tabulky pro důchodové pojištění a penzijní připojištění v České republice. Tento postup je dále stručně shrnut:
1. Prof. Cipra použil jako podkladová data klasické úmrtnostní tabulky pro populaci Čech a Moravy za období 1899/1902, 1909/1912, 1920/1922, 1929/1932, 1949/1951, 1960/1961, 1971, 1981, 1990, 1991, 1992, 1993, 1994, 1995, 1996, a to vždy s věkovým rozsahem 0, 1,… 103 let. Provedl logaritmickou transformaci pravděpodobností úmrtí ln qx (t) pro jednotlivé věky. Tato data pak proložíme regresními přímkami vždy pro pevně zvolený věk. Výsledné regresní přímky pro pevně zvolený věk x lze obecně zapsat:
ln q60 (t) B(x) – F(x) · t, t = 1900,… 1996 Např. pro věk 60 u mužů vyšly následující regresní odhady:
ln q60 (t) 4,131 07 – 0,003 98 · t, t = 1900,… 1996, resp.:
ln q60 (t) 72,989 94 – 0,038 53 · t, t = 1990,… 1996, při omezení na sedm posledních let
Regresní odhady závisí na zvoleném období, tudíž zvolíme mezi nimi kompromis. Za základ vezmeme delší období, přičemž zvolíme vhodný koeficient rx tak, aby hodnoty rx · F(x) ležely mezi odhady F(x) za období 1900 – 96 a odhady F(x) za období 1990 – 96. Konkrétní hodnoty koeficientů rx pro muže:
rx = 1,1 , 0≤ x ≤30
rx = 1,1 + 0,1 · (x-30) , 31≤ x ≤59
rx = 4 , 60≤ x ≤95
rx = rx·F(x)= r95 · F(95) , 96≤ x ≤103
Poté se ještě koeficienty rx · F(x) upraví na konečný tvar G(x) tak, aby vyhovovala dvěma cílům:
• Posloupnost G(x) by s rostoucím věkem x měla být nerostoucí, aby odpovídali s věkem narůstající pravděpodobnosti úmrtí.
• Mělo by platit, že G(x) ≤ G(y), aby zůstala zachována nižší úmrtnost žen než úmrtnost mužů.1
2. Pro potřebné projekce je třeba zvolit bazickou úmrtností tabulku. Vhodnou může být aktuální úmrtnostní tabulka, v tomto případě to byla úmrtnostní tabulka pro rok 1996. Pro konstrukci generačních úmrtnostních tabulek se dále zohledňuje princip selekce (resp.
antiselekce) důchodových kmenů. Koeficient selektivnosti, kterým je posléze vynásobena úmrtnost qx, lze spočítat jako:
Jinou možností je převzetí koeficientů. Prof. Cipra převzal tyto koeficienty od Schmithalse a Schütze2:
1 Pro jednoduchost a stručnost zde koeficient G(y), a tedy generační úmrtnostní tabulky pro ženy nerozebírám.
2 Schmitals, B. Schütz, E.U.: Herleitung der DAV-Sterbetafel 1994 B für Rentenversicherung. Blätter der DGVM XXII, 1995, Heft 1, 29-69
3. Výsledné generační pravděpodobnosti úmrtnosti jsou statistické odhady, a jsou tedy zatíženy statistickou chybou. Tu je třeba vykompenzovat, k čemuž slouží bezpečnostní přirážka. Její tvorbu lze nalézt např. v [6] Cipra, T:. Pojistná matematika, teorie a praxe. Tato bezpečnostní přirážka se pak odečítá od upravené úmrtnosti:
qBx = fx·qx(1996) – sx, kde qBx je bazická pravděpodobnost úmrtí
4. Výsledné pravděpodobnosti úmrtí se pak stanoví podle vzorce:
qx(t) = e-G(x)·(x+ τ -1996)
, kde τ je generační ročník (tedy rok narození).