MILANHEJNY´, DARINA JIROTKOVA´1
P
AVUCˇ INYObr. 1: Ru˚zne´ typy pavucˇin
Na obra´zku 1 je uvedeno neˇkolik typu˚ pavucˇin. Podı´vejte se naprˇı´klad na pavucˇinu C1.
Jsou v nı´ cˇtyrˇi cˇı´sla, ktera´ jsou zatı´m oznacˇena pı´smeny A, B, C, D, a sˇest sˇipek – trˇi jsou plne´, dveˇ jsou tecˇkovane´ a jedna je cˇa´rkovana´.
Pro zˇa´ky a v textu, kde lze rozlisˇovat barvy,
pou-Obr. 2: Pavucˇina C1 s vlozˇeny´mi cˇı´sly zˇı´va´me barevneˇ odlisˇene´ sˇipky: plne´ sˇipky jsou modre´,
tecˇkovane´ jsou zelene´ a cˇa´rkovane´ jsou cˇervene´. Do te´to pavucˇiny mı´sto pı´smene B vlozˇı´me cˇı´slo 6 a mı´sto pı´smene C cˇı´slo 8 (obr. 2).
Tato pavucˇina je u´lohou. Zˇ a´k ma´ za u´kol mı´sto pı´s-men A a D napsat cˇı´sla tak, aby kazˇda´ sˇipka znapı´s-menala prˇicˇı´ta´nı´ jiste´ho prˇirozene´ho cˇı´sla a sˇipky stejny´ch barev znamenaly prˇicˇı´ta´nı´ stejny´ch cˇı´sel. Z dany´ch dvou cˇı´sel
vidı´me, zˇe tecˇkovana´ (zelena´) sˇipka ma´ hodnotu 8−6 = 2. Da´le vidı´me, zˇe dveˇ plne´
(modre´) sˇipky majı´ te´zˇ dohromady hodnotu 2, tedy jedna plna´ sˇipka ma´ hodnotu 1. Tedy mı´sto pı´smene D je nutno da´t cˇı´slo 7 a mı´sto pı´smene A cˇı´slo 5. Cˇa´rkovana´ (cˇervena´) sˇipka pak znamena´ prˇicˇtenı´ cˇı´sla 3.
1Univerzita Karlova v Praze, Pedagogicka´ fakulta; milan.hejny@pedf.cuni.cz, darina.jirotkova@pedf.cuni.cz
92 M. Hejny´, D. Jirotkova´: Pavucˇiny a Barevne´ trojice MATEMATICKY´ POPIS PROSTRˇEDI´ PAVUCˇIN
Orientovany´ graf, jehozˇ kazˇdy´ vrchol i kazˇda´ hrana je ohodnocena prˇirozeny´m cˇı´slem, nazveme pavucˇinou, jestlizˇe platı´:
1. je-li A→B orientovana´ hrana jdoucı´ od vrcholu A k vrcholu B, pak hodnota vrcholu A plus hodnota hrany je rovna hodnoteˇ vrcholu B;
2. kazˇda´ hrana (tj. sˇipka) je obarvena; dveˇ hrany majı´ stejnou barvu, pra´veˇ kdyzˇ majı´
stejne´ hodnoty.
Naprˇı´klad u pavucˇiny C1 z ilustrace je hodnota vrcholu A rovna 5, cozˇ zapı´sˇeme jednodusˇe A = 5. Podobneˇ je B = 6, C = 8 a D = 7. Hodnota plne´ (modre´) sˇipky je 1, hodnota tecˇkovane´ (zelene´) je 2 a hodnota cˇa´rkovane´ (cˇervene´) je 3.
DIDAKTICKE´ CI´LE PROSTRˇEDI´ PAVUCˇIN
Prostrˇedı´ nabı´zı´ u´lohy, ktere´ obohacujı´ zˇa´kovy zkusˇenosti nejen v oblasti za´kladnı´
aritmetiky (scˇı´ta´nı´ a odcˇı´ta´nı´ prˇirozeny´ch cˇı´sel), ale i v mnoha dalsˇı´ch oblastech: na´sobenı´
a deˇlenı´, cˇı´sla cela´ i cˇı´sla raciona´lnı´, linea´rnı´ rovnice, diofanticke´ rovnice, soustavy rovnic, relace, funkce, kombinatorika, pravdeˇpodobnost, logika. Modifikovane´ pavucˇiny, ktere´ prˇipousˇtı´ i nekonecˇneˇ mnoho vrcholu˚, otevı´rajı´ cesty k posloupnostem a limita´m.
Modifikovane´ pavucˇiny, u nichzˇ je hrana va´za´na na vztah hodnota vrcholu A vyna´sobena hodnotou hrany z A do B je rovna hodnoteˇ vrcholu B, otevı´rajı´ cestu k mocnina´m i odmocnina´m, ke kvadraticky´m rovnicı´m i polynomu˚m.
Da´le uvedeme nejdrˇı´ve se´rii u´loh pro prvnı´ stupenˇ za´kladnı´ch sˇkol, pak neˇkolik u´loh pro druhy´ stupenˇ a nakonec jednu na´rocˇnou u´lohu pro maturanty. Nejprve zavedeme se´rii pavucˇinovy´ch grafu˚, v nichzˇ jsou sˇipky barveny, ale hodnoty vrcholu˚ urcˇeny jesˇteˇ nejsou.
Na obra´zku 1 jsou grafy obsahujı´cı´ 4 vrcholy. Grafy A1, A2, A3, B1 majı´ dveˇ barvy sˇipek a grafy B2, C1, C2 majı´ trˇi barvy sˇipek. Tabulka 1 uva´dı´ ke kazˇde´mu z uvedeny´ch grafu˚ jednu pavucˇinu. Tak naprˇı´klad v rˇa´dce A1 tabulky je popsa´na pavucˇina A1, kde ohodnocenı´ vrcholu˚ je: A = 3, B = 0, C = 1 aD = 2. Kdyzˇ ke kazˇde´mu z teˇchto cˇı´sel prˇicˇteme neˇjake´ stejne´ cˇı´slo, dostaneme dalsˇı´ pavucˇinu, naprˇı´klad A = 9,B = 6, C = 7 a D = 8. Ohodnocenı´ hran ve vsˇech teˇchto prˇı´padech je stejne´: plne´ hrany (to jsou BC, CD a DA) majı´ hodnotu 1 a tecˇkovana´ (je to pouze hrana CA) ma´ hodnotu 2. Hrany AD a BD v pavucˇineˇ nejsou. V tabulce je u hrany AD uvedeno cˇı´slo −1. To znamena´, zˇe hrana DA ma´ hodnotu +1. Podobneˇ hodnota hrany CA je 2, nebot’ tabulka uva´dı´, zˇe hodnota hrany AC je −2. Hodnoty hran je mozˇne´ na´sobit stejny´m cˇı´slem, naprˇı´klad plnou sˇipku ohodnotı´me cˇı´slem 9 a tecˇkovanou pak cˇı´slem 18. V tom prˇı´padeˇ je ale nutne´
prˇı´slusˇneˇ zmeˇnit i hodnoty vrcholu˚.
V tabulce je jesˇteˇ uvedenacharakteristika pavucˇiny. Je to trojice cˇı´sel, kde prvnı´ cˇı´slo znamena´ pocˇet hran o za´kladnı´ hodnoteˇ 1, druhe´ cˇı´slo pocˇet hran o za´kladnı´ hodnoteˇ 2 a trˇetı´ pocˇet hran o za´kladnı´ hodnoteˇ 3. Charakteristiku pavucˇiny lze pouzˇı´t naprˇı´klad prˇi klasifikaci pavucˇin nebo prˇi zkouma´nı´ mı´ry na´rocˇnosti jednotlivy´ch typu˚ pavucˇin.
M. Hejny´, D. Jirotkova´: Pavucˇiny a Barevne´ trojice 93 Typ Hodnota vrcholu Hodnota hrany Charakteristika
A1 3 0 1 2 - 1 1 –1 –2 - 3,1,0
A2 4 0 2 3 - 2 1 –1 –2 - 2,2,0
A3 1 0 2 0 - 2 1 2 1 - 2,2,0
B1 0 1 2 1 1 1 –1 1 2 - 4,1,0
B2 0 3 2 1 3 –1 –1 1 2 - 3,1,1
C1 1 2 4 3 1 2 –1 2 3 1 3,2,1
C2 0 2 1 3 1 1 1 3 2 2 3,2,1
Tab. 1
Z kazˇde´ z uvedeny´ch pavucˇin lze tedy vytvorˇit vı´ce ru˚zneˇ na´rocˇny´ch u´loh. Prˇı´kladem mu˚zˇe by´t na´sledujı´cı´ kaska´da osmi u´loh vytvorˇeny´ch z pavucˇiny A1. U´ lohy jsou uvedeny v tabulce 2. Zde p = 1 znacˇı´, zˇe plna´ sˇipka ma´ hodnotu 1 a t = 2 znacˇı´, zˇe tecˇkovana´ sˇipka ma´ hodnotu 2. Pod tabulkou je ke kazˇde´ u´loze uveden didakticky´ komenta´rˇ s na´znakem rˇesˇenı´ a zdu˚razneˇnı´m, co u´loha prˇina´sˇı´ nove´ho.
U´ loha U´1 U´ 2 U´ 3 U´ 4 U´ 5 U´ 6 U´ 7 U´ 8 da´no B = 3 C = 5 A = 7 A = 8 D = 20 D = 25 A = 78 A + B =
p = 1 p = 1 D = 5 C = 6 B = 10 t = 12 B = 69 = 17 Tab. 2
DIDAKTICKY´ KOMENTA´Rˇ K U´LOHA´M
U´ 1. Prˇicˇı´ta´nı´m 1 zˇa´k najde C = 4, D = 5, A = 6, pak t = A − C = 2, nebo t = p+ p = 2. Prvnı´ cestu pouzˇije zˇa´k, ktery´ vnı´ma´ cˇı´sla A, B, C a D jako za´kladnı´
prvek. Druhou cestu pouzˇije zˇa´k, ktery´ vnı´ma´ sˇipky jako za´kladnı´ prvek.
U´ 2. Objevilo se i jedno odcˇı´ta´nı´. B = C −p= 5−1 = 4.
U´ 3. Trˇi hodnoty nutno najı´t odcˇı´ta´nı´m:t = A−D, C = D−t, B = C −t.
U´ 4. Objevilo se pu˚lenı´. Nejprvet = A−C = 2, pakp= t: 2.
U´ 5. Narostla cˇı´sla a zˇa´dny´ u´daj nelze najı´t prˇı´mo z u´daju˚ zna´my´ch. U´ loha se sta´va´ pro neˇktere´ zˇa´ky u´lohou implicitnı´. Zˇ a´k hleda´ p tak, aby10 +p = C a za´rovenˇ C +p= 20.
U´ 6. Je nutne´ objevit, zˇep = t : 2. Kdyzˇ zjistı´me, zˇep = 6, vsˇe jde jizˇ rychle.
94 M. Hejny´, D. Jirotkova´: Pavucˇiny a Barevne´ trojice U´ 7. Narostla cˇı´sla a nutno odhalit vztah A = B + 3p. Z neˇj je potrˇeba nejprve najı´t pomocnou hodnotu 3p = A−B = 9 a pakp= 3.
U´ 8. Na´rocˇnost lze stupnˇovat azˇ na vysˇsˇı´ gymna´zium. Ze vztahuA = B+ 3psestavı´me diofantickou rovnici 2B + 3p = 17 a najdeme jejı´ trˇi rˇesˇenı´ v oblasti prˇirozeny´ch cˇı´sel:
B = 7, p = 1; B = 4, p = 3; B = 1, p = 5. V oblasti cely´ch cˇı´sel ma´ pavucˇina nekonecˇneˇ mnoho rˇesˇenı´: B = 7−3n, p = 2n+ 1, kde nje libovolne´ cele´ cˇı´slo.
DALSˇ I´ TYPY PAVUCˇIN
Na obra´zku 3 jsou pavucˇiny D1, D2, E1, E2, E3, ktere´ obsahujı´ 5 vrcholu˚ a 7 nebo 8 hran.
Obr. 3: Dalsˇı´ typy pavucˇin
Za´kladnı´ vazby v jednotlivy´ch pavucˇina´ch jsou opeˇt da´ny v tabulce, ve ktere´ lze kazˇdy´ rˇa´dek modifikovat tı´m, zˇe k hodnoteˇ kazˇde´ho vrcholu prˇipocˇı´ta´me stejne´ cˇı´slo, nebo hodnotu kazˇde´ sˇipky vyna´sobı´me stejny´m kladny´m cely´m cˇı´slem a hodnoty vrcholu˚
prˇı´slusˇneˇ upravı´me.
Typ Hodnota vrcholu Hodnota hrany Charakteristika
A B C D E AB BC CD AD AE BE CE DE
D1 0 1 2 3 4 1 1 1 3 - 3 2 1 4,1,2
D2 0 1 4 3 2 1 3 –1 3 2 1 –2 –1 4,2,2
E1 0 1 3 4 2 1 2 1 - 2 1 –1 –2 4,3,0
E2 0 2 3 4 1 2 1 1 - 1 –1 –2 –3 4,2,1
E3 1 0 3 4 2 –1 3 1 - 1 2 –1 –2 4,2,1
Tab. 3
Pavucˇiny F1 – F9 na obra´zku 4 obsahujı´ 6 vrcholu˚ a 9 hran a jejich hodnoty jsou take´
da´ny v tabulce 4.
M. Hejny´, D. Jirotkova´: Pavucˇiny a Barevne´ trojice 95
Obr. 4: Pavucˇiny se 6 vrcholy
Typ Hodnoty vrchol Hodnoty hran
Charakte-A B C D E F Charakte-AB BC CD DE EF Charakte-AF Charakte-AE BE BD ristika
F1 0 1 2 3 2 1 1 1 1 –1 –1 1 2 1 2 7,2,0
F2 1 3 5 4 2 0 2 2 –1 –2 –2 –1 1 –1 1 5,4,0
F3 1 3 4 5 2 0 2 1 1 –3 –2 –1 1 –1 2 5,3,1
F4 2 0 1 2 3 4 –2 1 1 –1 –1 2 1 3 2 5,3,1
F5 4 1 0 3 2 3 –3 –1 3 –1 1 –1 –2 1 2 5,3,2
F6 0 1 2 4 3 2 1 1 2 –1 –1 2 3 2 3 4,3,2
F7 3 0 2 1 2 5 –3 2 -1 1 3 2 –1 2 1 4,3,2
F8 0 2 4 5 3 1 2 2 1 –2 –2 1 3 1 3 3,4,2
F9 2 1 0 3 4 5 –1 -1 3 –1 –1 3 2 3 2 4,2,3
Tab. 4
96 M. Hejny´, D. Jirotkova´: Pavucˇiny a Barevne´ trojice
B
AREVNE´ TROJICE ILUSTRACENa stole lezˇı´ 12 barevny´ch karet, na kazˇde´ karteˇ je jedno cˇı´slo.
Cˇervene´ (cˇ) karty 1, 2, 3, 8; modre´ (m) karty: 1, 2, 3, 7; zelene´ (z) karty 1, 2, 4, 6.
U´ kolem je vytvorˇit trojice tak, aby v kazˇde´ trojici byla jedna cˇ, jedna m a jedna z karta a aby soucˇet vsˇech trˇı´ cˇı´sel v kazˇde´ skupineˇ byl 10.
MATEMATICKY´ POPIS PROSTRˇEDI´
Je da´na matice typu m x n, jejı´zˇ prvky jsou prˇirozena´ cˇı´sla. Hleda´me takovy´ soubor permutacı´ cˇı´sel kazˇde´ho rˇa´dku kromeˇ prvnı´ho, aby soucˇet cˇı´sel v kazˇde´m sloupci byl stejny´.
Naprˇı´klad u´loha z ilustrace je da´na maticı´ typu 3 x 4:
1 2 3 8 1 2 3 7 1 2 4 6
Rˇ esˇenı´m jsou permutace: druhy´ rˇa´dek (7 2 3 1), trˇetı´ rˇa´dek (2 6 4 1).
DIDAKTICKE´ CI´LE PROSTRˇEDI´ BAREVNY´CH TROJIC
Zde jsou didakticke´ cı´le skrovneˇjsˇı´ nezˇ u pavucˇin. Kromeˇ scˇı´ta´nı´ a porovna´va´nı´ je zde zastoupena kombinatorika a logika. Hlavı´m didakticky´m cı´lem teˇchto u´loh je budova´nı´
schopnosti tvorˇit rˇesˇitelske´ strategie. To uka´zˇeme na prˇı´beˇhu, ktery´ je zkonstruova´n z mnoha nasˇich zkusˇenostı´. Akte´ry prˇı´beˇhu jsou zˇa´ci Adam a Elsa, kterˇı´ odhalı´ trˇi ru˚zne´
rˇesˇitelske´ strategie.
1. Pokus omyl
Zˇ a´k Adam vezme do ruky cˇ3 (cˇervena´ trojka), protozˇe lezˇı´ nejblı´zˇe. Pak vezme m7 (modra´ sedmicˇka) a tuto dvojici odlozˇı´ bokem. Podı´va´ se na kamara´da a vidı´, zˇe ten da´va´ dohromady trˇi lı´stecˇky. Vezme tedy dvojici cˇ3, m7 a hleda´ mezi zeleny´mi cˇı´sly nulu. Nenajde ji. Odlozˇı´ obeˇ cˇı´sla, ktera´ drzˇı´, chvı´li se dı´va´ na karty a bere do ruky cˇ8.
2. Extre´mnı´ cˇı´sla
Adam prˇecha´zı´ na novou strategii – zacˇı´na´ s nejveˇtsˇı´m cˇı´slem, ktere´ je na stole. Po chvı´li k neˇmu bere karty m1 a z1. Karty polozˇı´ a kontroluje soucˇet. Pak celou trojici odlozˇı´. Na stole zu˚sta´va´ 9 karet: cˇ – 1,2,3; m – 2,3,7; z – 2,4,6. Opeˇt bere do ruky nejveˇtsˇı´ cˇı´slo m7 a k neˇmu cˇ3. Pak cˇ3 odlozˇı´ a vezme cˇ1 a z2. Trojici polozˇı´ na stu˚l, kontroluje soucˇet a da´ trojici stranou. Na stole zu˚sta´va´ 6 karet: cˇ – 2, 3; m – 2, 3; z – 4, 6. Adam se na neˇ chvı´li dı´va´ a rˇekne: „To nejde, cˇtyrˇka i sˇestka jsou obeˇ zelene´“.
Vza´peˇtı´ ale rˇekne objevne´ „jo“ a da´ k sobeˇ trojici (cˇ2, m2, z6) a pak zbyle´ trˇi karty.
M. Hejny´, D. Jirotkova´: Pavucˇiny a Barevne´ trojice 97 3. Maja´kove´ spoje
Zˇ acˇka Elsa si prohlı´zˇı´ karty, po chvı´li vybere trojici (cˇ2, m2, z6) a da´ ji bokem. Pak pokracˇuje v rˇesˇenı´.
Komenta´rˇ k Adamovi. Chlapci deˇla´ potı´zˇe si uveˇdomit, zˇe cˇı´slo 10 se ma´ vytvorˇit ze trˇı´ cˇı´sel. Opakovaneˇ se soustrˇed’uje na dvojici cˇı´sel, ktere´ da´vajı´ 10.
Komenta´rˇ k Else. V rozhovoru s dı´vkou jsme se dozveˇdeˇli, zˇe jejı´ maminka ma´
v zameˇstna´nı´ telefonnı´ linku 226 a zˇe jizˇ v prˇedsˇkolnı´m veˇku Elsa veˇdeˇla, zˇe tato trˇi cˇı´sla da´vajı´ 10. Pro dı´vku je tedy spoj 2 + 2 + 6 = 10 spojem maja´kovy´m. Okamzˇiteˇ naskakuje ve veˇdomı´.
DIDAKTICKE´ NA´STROJE NA RˇESˇENI´ TEˇCHTO U´LOH
U´ lohy rˇesˇı´me jizˇ v prvnı´m rocˇnı´ku, ale pro zˇa´ky jsou to u´lohy velice na´rocˇne´, zejme´na kdyzˇ prˇipousˇtı´ pouze jedine´ rˇesˇenı´. Ucˇitel ale mu˚zˇe u´lohu zˇa´ku˚m prˇiblı´zˇit pomocı´ dra-matizace. Dvana´ct zˇa´ku˚ stojı´ u tabule tva´rˇı´ ke trˇı´deˇ, kazˇdy´ drzˇı´ ceduli s jednı´m cˇı´slem.
Na jedne´ straneˇ cˇı´sla cˇervena´ (1, 2, 3, 8), uprostrˇed cˇı´sla modra´ (1, 2, 3, 7) a na druhe´
straneˇ cˇı´sla zelena´ (1, 2, 4, 6). Ucˇitel nejprve uka´zˇe, co je cı´lem hry. Vybere cˇervenou 1, modrou 3 a zelenou 6 a tito zˇa´ci prˇedstoupı´. „Jaky´ je soucˇet teˇchto trˇı´ cˇı´sel?“ pta´ se ucˇitel.
Trˇı´da odpovı´, zˇe 10. Pak ucˇitel vyzve zˇa´ky, aby i oni z teˇchto 12 cˇı´sel nasˇli jine´ trˇi, jejichzˇ soucˇet je 10 a prˇitom ma´ kazˇde´ jinou barvu. Trˇı´da najde 2–3 dalsˇı´ rˇesˇenı´.
Pak ucˇitel vyzve cˇervenou 8, at’ si najde jedno modre´ cˇı´slo a jedno zelene´ cˇı´slo tak, aby spolecˇneˇ v soucˇtu dali 10. Cˇı´slo 8 si najde obeˇ jednicˇky. Trojice8 + 1 + 1se postavı´
stranou a ucˇitel rˇekne zˇa´ku˚m, aby si v ucˇebnici spojili cˇervenou 8, modrou 1 a zelenou 1 a tuto trojici napsali do prvnı´ rˇa´dky. Da´le ucˇitel vyzve modrou 7, aby si nasˇla 2 kamara´dy, cˇervene´ho a zelene´ho tak, aby spolecˇneˇ v soucˇtu dali 10. Cˇı´slo 7 si najde cˇervenou 1 a zelenou 2. Trojice 1 + 7 + 2 se postavı´ stranou. Zˇ a´ci si do ucˇebnic opeˇt tuto trojici zapı´sˇı´. Ucˇitel potom vyzve zelenou 6 a ta si najde obeˇ dvojky. Trojice2 + 2 + 6se postavı´
stranou a zbyla´ trojice3 + 3 + 4 pouze proveˇrˇı´, zˇe i ona v soucˇtu da´ 10. Prˇed trˇı´dou ted’
stojı´ cˇtyrˇi trojice. V kazˇde´ jsou trˇi cˇı´sla ru˚zny´ch barev a kazˇda´ trojice v soucˇtu da´va´ 10.
U´ loha je vyrˇesˇena. Zˇa´ci si kontrolujı´, zda si to spra´vneˇ zapsali.
DALSˇ I´ U´LOHY
V tomto odstavci prˇedkla´da´me v u´sporne´ formeˇ 30 u´loh i s rˇesˇenı´m. Zkusˇeneˇjsˇı´mu rˇesˇiteli doporucˇujeme, aby u´lohy sa´m zacˇal tvorˇit, cˇı´mzˇ nejle´pe pronikne do proble´mu.
98 M. Hejny´, D. Jirotkova´: Pavucˇiny a Barevne´ trojice
S. Chaloupkova´: Rˇ esˇenı´ slovnı´ch u´loh s antisigna´lem zˇa´ky na 1. stupni ZSˇ 99
Z
A´VEˇREMObeˇ dveˇ uvedena´ prostrˇedı´ jsou rozpracova´na v ucˇebnicı´ch matematiky z naklada-telstvı´ Fraus v soucˇasne´ dobeˇ pro 1. – 3. rocˇnı´k. Naprˇı´klad pavucˇina z obra´zku 2 je z ucˇebnice pro 2. rocˇnı´k, 1. dı´l, s. 56. Mimo tyto ucˇebnice u´lohy z obou prostrˇedı´, ale zejme´na z prostrˇedı´ pavucˇin, s u´speˇchem pouzˇı´vala ve vy´uce v 5. rocˇnı´ku i ve svy´ch vy´zkumech Eva Bomerova´ ze ZSˇ Deˇdina. Prostrˇedı´ pavucˇin bylo take´ hlavnı´m te´matem otevrˇene´ hodiny v ra´mci semina´rˇe.
Cˇla´nek prezentuje vy´sledky vy´zkumu, ktery´ byl podporˇen vy´zkumny´m za´meˇrem Ucˇitelska´ profese v meˇnı´cı´ch se pozˇadavcı´ch na vzdeˇla´va´nı´ MSM 0021620862.