DANIELA BLAZˇ KOVA´1
U ´
VODJako vedoucı´ semina´rˇu˚ pro studenty 1. rocˇnı´ku Ucˇitelstvı´ 1. stupneˇ ZSˇ jsem neˇkolikra´t narazila na proble´m, ktery´ se ty´kal chyb ve vzorcı´ch pro obsahy rovinny´ch u´tvaru˚, prˇedevsˇı´m kosode´lnı´ku a lichobeˇzˇnı´ku. Snazˇila jsem se proto vymyslet neˇjakou pomu˚cku, ktera´ by na´zorneˇ uka´zala odvozenı´ jednotlivy´ch vzorcu˚ a pomohla tak opravit zmı´neˇne´
chyby.
Po neˇkolika nepodarˇeny´ch pokusech vznikla skla´danka o 7 dı´lcı´ch, ze ktery´ch je mozˇne´ vytva´rˇet ru˚zne´ obrazce, stejneˇ jako u klasicke´ho cˇtvercove´ho tangramu. Omezenı´m je nepravidelnost dı´lku˚, dı´ky nı´zˇ nelze vytvorˇit velke´ mnozˇstvı´ figur.
S
KLA´ DANKA A POSTUP JEJI´HO VZNIKUObr. 1: Skla´danka ve vy´chozı´m tvaru
Jsou-li de´lky stran obde´lnı´ka cˇleny Fibonnacciho posloupnosti, pak mu˚zˇe nastat paradoxnı´ situace (viz obr. 2). Pouzˇitı´m ty´chzˇ dı´lku˚ takove´ho obde´lnı´ku lze poskla´dat u´tvary o ru˚zne´m obsahu (prˇi umı´steˇnı´ do cˇtvercove´ sı´teˇ prˇeby´va´ 1 cˇtverecˇek).
Obr. 2: Chybeˇjı´cı´ cˇtverecˇek
Aby takova´ situace nemohla nastat i v prˇı´padeˇ te´to skla´danky, postupovala jsem prˇi jejı´m vytva´rˇenı´ pozpa´tku (viz obr. 3a–c).
1Katedra matematiky PdF UP v Olomouci, daniela.blazkova@upol.cz
30 D. Blazˇkova´: Vyuzˇitı´ jedne´ skla´danky tangramove´ho typu ve vy´uce matematiky
S
KLA´ DANKA A POSTUP JEJI´HO VZNIKUObr. 3: (a) Lichobeˇzˇnı´k (b) troju´helnı´k (c) kosode´lnı´k
Lichobeˇzˇnı´k byl zvolen tak, aby nebyl rovnoramenny´. Po neˇkolika pokusech vysˇlo najevo, zˇe cˇı´m mensˇı´ je u´hel prˇi vrcholuE, tı´m veˇtsˇı´ je potom dı´lek oznacˇeny´ oranzˇovou barvou (nejmensˇı´ dı´lek). Fialovy´ dı´lek vznikl rˇezem podle spojnice vrcholuH se strˇedem stranyF G.
Jeden rˇez byl prˇida´n dodatecˇneˇ, a to kratsˇı´ u´hloprˇı´cˇka v kosode´lnı´ku (obr. 3c). Uka´zalo se, zˇe dı´ky tomuto rˇezu je odvozova´nı´ vzorcu˚ pro studenty pochopitelneˇjsˇı´, protozˇe se nezmeˇnı´ vy´sˇka troju´helnı´ka.
O
DVOZENI´ VZORCU˚ PRO VY´POCˇET OBSAHU KOSODE´LNI´KA A TROJ-U´ HELNI´KA
Pro odvozova´nı´ vzorcu˚ pomocı´ te´to skla´danky je nutne´ pochopenı´ vzorce pro vy´pocˇet obsahu obde´lnı´ku. Kosode´lnı´k vznikne z obde´lnı´ku prˇesunutı´m bı´le´ho a oranzˇove´ho dı´lu zprava doleva (viz obr. 1 a 3c).
Na´vodne´ ota´zky:
1. Jak se zmeˇnil obsah kosode´lnı´ku vu˚cˇi obsahu pu˚vodnı´ho obde´lnı´ku?
2. Jak se zmeˇnila de´lka strany (v obde´lnı´ku oznacˇena´ AB)?
3. Jestlizˇe majı´ oba u´tvary stejneˇ dlouhou jednu stranu, cˇı´m musı´me vyna´sobit de´lku strany v kosode´lnı´ku, aby se nezmeˇnil obsah?
Studenti sami prˇisˇli na to, zˇe pro vy´pocˇet obsahu kosode´lnı´ku musı´ de´lku strany vyna´sobit vy´sˇkou. Trˇetı´ ota´zku je mozˇne´ formulovat i takto: Co ma´ stejnou de´lku jako druha´ strana v pu˚vodnı´m obde´lnı´ku?
Troju´helnı´k vznikne rozdeˇlenı´m kosode´lnı´ku podle u´hloprˇı´cˇky. Pouzˇijeme-li rˇez podle kratsˇı´ u´hloprˇı´cˇky, nezmeˇnı´ se vy´sˇka a odvozenı´ vzorce je pak srozumitelneˇjsˇı´.
Prˇemı´steˇnı´m zelene´ho, fialove´ho a modre´ho dı´lku na zby´vajı´cı´ dı´lky je mozˇne´ uka´zat, zˇe u´hloprˇı´cˇka deˇlı´ kosode´lnı´k na dva shodne´ troju´helnı´ky.
D. Blazˇkova´: Vyuzˇitı´ jedne´ skla´danky tangramove´ho typu ve vy´uce matematiky 31
O
DVOZENI´ VZORCE PRO VY´ POCˇET OBSAHU LICHOBEˇZˇNI´KUPrˇi odvozova´nı´ tohoto vzorce je vhodneˇjsˇı´ neprˇeva´deˇt troju´helnı´k na lichobeˇzˇnı´k, ale pouzˇı´t zpeˇtny´ postup. Prˇi prˇevodu lichobeˇzˇnı´ku na troju´helnı´k je na´zorneˇ zdu˚vodneˇn vy´skyt vy´razu (a+ c) v cˇitateli vzorce pro vy´pocˇet obsahu lichobeˇzˇnı´ku. Prˇi opacˇne´m postupu nenı´ pu˚vod vy´razu ve vzorci prˇı´lisˇ jasny´.
Pro odvozenı´ vzorce pro obsah lichobeˇzˇnı´ku lze vyuzˇı´t vsˇechny dı´lky zna´zorneˇne´ na obr. 3a, prˇı´p. je mozˇne´ odebrat bı´ly´ dı´lek (vlevo).
D
ALSˇ I´ VYUZˇITI´Aby skla´danka neslouzˇila pouze k jednomu u´cˇelu, prˇemy´sˇleli jsme nad jejı´m dalsˇı´m vyuzˇitı´m. Nabı´zı´m neˇktere´ z na´padu˚.
1. matematika – propedeutika pro ucˇivo konstrukcˇnı´ geometrie (na´cvik prˇesnosti ry´so-va´nı´, rozvoj prˇedstavivosti), urcˇova´nı´ a hleda´nı´ u´tvaru˚ (troju´helnı´ky, cˇtyrˇu´helnı´ky, os-trou´hle´ troju´helnı´ky), skla´da´nı´ dalsˇı´ch u´tvaru˚, rozvoj jemne´ motoriky prostrˇednictvı´m manipulace s dı´lky
2. vy´tvarna´ vy´chova – vitra´zˇe (malova´nı´ barvami na sklo)
3. pracovnı´ cˇinnosti – mozˇnost vyrobit si skla´danku z pevneˇjsˇı´ho materia´lu
T
ROCHA TEORIE NA ZA´VEˇRPouzˇitı´ skla´danky je zalozˇeno na platnosti Bolyai-Gerwienova teore´mu, ktery´ rˇı´ka´, zˇe kazˇde´ dva jednoduche´ mnohou´helnı´ky o stejne´m obsahu jsou shodneˇ rozlozˇitelne´. Jiny´mi slovy: jsou-li da´ny dva jednoduche´ mnohou´helnı´ky o stejne´m obsahu, pak jeden mu˚zˇe by´t rozdeˇlen na konecˇneˇ mnoho dı´lu˚ (mnohou´helnı´ku˚), ktere´ mohou by´t prˇemı´steˇny tak, zˇe vytvorˇı´ druhy´ mnohou´helnı´k. Jednoduche´ mnohou´helnı´ky jsou takove´, jejichzˇ nesousednı´ strany se neprotı´najı´. Prˇemı´steˇnı´m je mysˇleno posunutı´ a rotace.
Analogicke´ tvrzenı´ o mnohosteˇnech v trojrozmeˇrne´m prostoru (zna´me´ jako 3. Hil-bertu˚v proble´m), neplatı´. V roce 1900 to doka´zal Max Dehn.
LITERATURA
[1] Bolyai-Gerwien theorem [online]. [Cit. 28. 1. 2009]. Dostupne´ na WWW:
<http://en.wikipedia.org/wiki/Bolyai%E2%80%93Gerwien theorem>
[2] Kabai, S.; Szabo´, F. H.; Szilassi, L. An Example of the Bolyai-Gerwien Theorem [online]. [Cit. 28. 1. 2009]. Dostupne´ na WWW:
<http://demonstrations.wolfram.com/AnExampleOfTheBolyai GerwienTheorem/>
32 J. Cachova´: Rozvı´jı´ sˇkolnı´ vyucˇova´nı´ matematickou gramotnost zˇa´ka?