JAROSLAV ZHOUF1
U ´
VODCˇla´nek si klade za cı´l prˇedlozˇit proble´my rekreacˇnı´ matematiky, ilustrovat neˇktere´
mysˇlenky a metody pouzˇı´vane´ v kombinatoricke´ geometrii. Prˇedlozˇene´ proble´my lze
1PedF UK, Praha; jaroslav.zhouf@pedf.cuni.cz
136 J. Zhouf: Hrava´ algebra s polyminy rˇesˇit experimentova´nı´m, ale take´ logicky´m uvazˇova´nı´m. Lze je pouzˇı´t prˇi pra´ci se zˇa´ky na vsˇech stupnı´ch sˇkol, a to s veˇtsˇinou zˇa´ku˚, prˇı´padneˇ jen s talentovaneˇjsˇı´mi zˇa´ky.
Cˇla´nek je koncipova´n jako na´meˇt na vytva´rˇenı´ „nove´ teorie“ ve vy´uce matematiky.
Zde konkre´tneˇ nova´ teorie propojuje algebru s geometriı´ a kombinatorikou. Tato teorie ma´
vyvolat obecneˇjsˇı´ pohled na strukturu matematiky, ma´ narusˇit klasicke´ sˇkolnı´ uvazˇova´nı´.
Konkre´tneˇ zde se objevujı´ rovnice, ktere´ majı´ v te´to teorii jine´ rˇesˇenı´ nezˇ doposud ve sˇkolske´ matematice prezentovane´.
P
OJMY POUZˇ ITE´ V CˇLA´NKUV cˇla´nku se pouzˇı´va´ pojem polymino. Je to u´tvar slozˇeny´ z jiste´ho pocˇtu cˇtvercu˚
se shodny´mi stranami, v nichzˇ kazˇdy´ cˇtverec ma´ spolecˇnou asponˇ jednu stranu s jiny´m cˇtvercem (s vy´jimkou monomina). Podle pocˇtu cˇtvercu˚ jde o monomino, domino, trimino, tetramino, pentamino atd. [2]. Existujı´ i troju´helnı´kova´ a sˇestiu´helnı´kova´ polymina, jimi se ale tento cˇla´nek nezaby´va´.
V cˇla´nku vystupujı´ cˇtvercova´ trimina a tetramina. Trimina jsou dvojı´ho tvaru:
Tetramin je peˇt tvaru˚:
J
EDNODUCHA´ ALGEBRA S TRIMINYV dalsˇı´ch u´vaha´ch budeme manipulovat s obrazci trimin. Pro tuto manipulaci si ozna-cˇı´me jednotliva´ trimina promeˇnny´mi, naprˇ.x, y,. . . Promeˇnne´ cha´peme tak jako obvykle, tj. zˇe v ru˚zny´ch prˇı´padech mu˚zˇe jedna promeˇnna´ oznacˇovat ru˚zna´ trimina. V na´sledujı´cı´ch situacı´ch budou promeˇnne´ plnit hlavneˇ druhou funkci, a to funkci nezna´my´ch v rovnicı´ch.
Z trimin budeme skla´dat jednoduche´ obrazce. Prˇilozˇenı´ dvou trimin k sobeˇ jednou celou stranou budeme povazˇovat za operaci, kterou zde oznacˇı´me opera´torem +. Soucˇet dvou,
J. Zhouf: Hrava´ algebra s polyminy 137 trˇı´ atd. trimin stejne´ho tvaru zapı´sˇeme jako na´sobek. Znakem= oznacˇı´me relaci (vztah) shodnosti dvou vytvorˇeny´ch obrazcu˚.
A
LGEBRA SE DVEˇ MA TRIMINYNejprve se zameˇrˇı´me na skla´da´nı´ obrazcu˚ ze dvou trimin. V tomto prˇı´padeˇ mohou nastat dveˇ situace:
A: Dveˇ trimina jsou stejna´.
B: Kazˇde´ ze dvou trimin je jine´.
Podle toho mu˚zˇeme dostat trˇi teoreticke´ mozˇnosti rovnostı´: A = A, A = B, B = B. Hledejme tedy obrazce, ktere´ splnˇujı´ tyto trˇi rovnosti. Sestavme proto rov-nice pro nezna´ma´ trimina, aby byly splneˇny tyto trˇi rovnosti.
Rovnost A = A nastane, pokud najdeme triminax, y splnˇujı´cı´ rovnost 2x = 2y, cˇili pokud vyrˇesˇı´me rovnici 2x = 2y. Tato rovnice ma´ dveˇ rˇesˇenı´ zna´zorneˇna´ na obra´zku:
Nejpodstatneˇjsˇı´ prˇi rˇesˇenı´ rovnice 2x = 2y je to, zˇe z rovnosti 2x = 2y neplyne x = y, jak jsme zvyklı´ v algebrˇe s cˇı´sly. Uveˇdomme si ale, zˇe z rovnosti x = y rovnost 2x = 2y vyply´va´, cozˇ je v souladu s algebrou s cˇı´sly. Celkoveˇ v prˇı´padeˇ algebry s triminy kra´cenı´/rozsˇirˇova´nı´ dveˇma nenı´ ekvivalentnı´ u´pravou.
Rovnost A = B nastane, pokud bude vyrˇesˇena rovnice 2x = x + y. Uka´zˇe se, zˇe tato rovnice rˇesˇenı´ nema´. K du˚kazu je mozˇne´ pouzˇı´t trojbarevnou sˇachovnici, v nı´zˇ se pravidelneˇ strˇı´dajı´ vzˇdy cele´ rˇa´dky obarvene´ jednou barvou, kazˇde´ dva sousednı´ rˇa´dky majı´ jinou barvu. Na tuto sˇachovnici se kladou k sobeˇ dveˇ stejna´ trimina vsˇemi mozˇny´mi zpu˚soby a pocˇı´ta´ se, kolik cˇtverecˇku˚ stejne´ barvy pokryjı´. Pak se k sobeˇ prˇikla´dajı´ dveˇ ru˚zna´ trimina a opeˇt se pocˇı´ta´ pocˇet zakryty´ch cˇtverecˇku˚ stejne´ barvy. Prˇi zˇa´dne´m pokrytı´
nemajı´ dva stejne´ obrazce pokryty´ stejny´ pocˇet polı´cˇek stejne´ barvy. V prˇı´padeˇ te´to rovnice z rovnostix = y rovnost 2x = x+y neplyne, cozˇ je jina´ situace nezˇ v prˇı´padeˇ A = A.
RovnostB = B nastat nemu˚zˇe, protozˇe sice na leve´ straneˇ rovnosti mu˚zˇe by´t soucˇet x+y, ovsˇem na prave´ straneˇ uzˇ zˇa´dny´ takovy´ soucˇet vzniknout nemu˚zˇe, protozˇe ma´me k dispozici jen dveˇ trimina.
138 J. Zhouf: Hrava´ algebra s polyminy
A
LGEBRA SE TRˇ EMI TRIMINYV prˇı´padeˇ trˇı´ trimin mohou nastat trˇi situace:
C: Trˇi trimina jsou stejna´.
D: Pra´veˇ dveˇ trimina jsou stejna´.
E: Vsˇechna trˇi trimina jsou jina´.
Podle toho mu˚zˇeme dostat sˇest rovnostı´: C = C, C =, C = E, D = D, D = E, E = E.
RovnostC = C nastane, pokud najdeme triminax, y splnˇujı´cı´ rovnost 3x = 3y, cˇili pokud vyrˇesˇı´me rovnici 3x = 3y. Uka´zˇe se, zˇe tato rovnice rˇesˇenı´ nema´. K du˚kazu je mozˇne´ pouzˇı´t trojbarevnou strˇı´davou sˇachovnici.
RovnostC = Dprˇedstavuje vyrˇesˇit dveˇ rovnice, a to3x = 2x+y, nebo3x = x+ 2y. Prvnı´ rovnice rˇesˇenı´ nema´ a da´ se to oveˇrˇit opeˇt na trojbarevne´ strˇı´dave´ sˇachovnici. Druha´
rovnice rˇesˇenı´ ma´ a neˇktera´ jejı´ rˇesˇenı´ jsou na obra´zku:
Rovnice3x = x+ 2y ma´ rˇesˇenı´, protozˇe ma´ rˇesˇenı´ rovnice2x = 2y. Totizˇ ke dveˇma existujı´cı´m shodny´m obrazcu˚m je mozˇno na stejne´ mı´sto prˇilozˇit trimino x. Naopak ale neplatı´, zˇe kazˇde´ rˇesˇenı´ rovnice 3x = x + 2y vede odebra´nı´m trimina x k rˇesˇenı´
rovnice 2x = 2y. Prˇı´kladem toho je poslednı´ rovnost obrazcu˚ na prˇedchozı´m obra´zku, kde v leve´m obrazci odebereme leve´ trimino L a v prave´m obrazci prave´ trimino L.
Rovnost C = E nastat nemu˚zˇe, protozˇe sice na leve´ straneˇ rovnosti mu˚zˇe by´t sou-cˇet 3x, ovsˇem na prave´ straneˇ uzˇ zˇa´dny´ takovy´ soucˇet vzniknout nemu˚zˇe, protozˇe ma´me k dispozici jen dveˇ trimina.
J. Zhouf: Hrava´ algebra s polyminy 139 Rovnost D = D je vyja´drˇena rˇesˇenı´m rovnice 2x + y = x+ 2y. Tato rovnice ale rˇesˇenı´ nema´ a da´ se to oveˇrˇit opeˇt trojbarevnou strˇı´davou sˇachovnicı´. Opeˇt zde nasta´va´
situace, kdy z platne´ rovnostix+ y = x+y neplyne rovnost 2x+y = x+ 2y.
RovnostD = E nastat nemu˚zˇe, protozˇe sice na leve´ straneˇ rovnosti mu˚zˇe by´t soucˇet 2x+y, ovsˇem na prave´ straneˇ uzˇ zˇa´dny´ takovy´ soucˇet vzniknout nemu˚zˇe, protozˇe ma´me k dispozici jen dveˇ trimina.
RovnostE = E nastat nemu˚zˇe, protozˇe ma´me k dispozici jen dveˇ trimina.
A
LGEBRA SE Cˇ TYRˇMI TRIMINYV prˇı´padeˇ cˇtyrˇ trimin mu˚zˇe nastat peˇt situacı´:
F: Cˇtyrˇi trimina jsou stejna´.
G: Pra´veˇ trˇi trimina jsou stejna´.
H: Dveˇ a dveˇ trimina jsou stejna´, ale ne vsˇechna stejna´.
I: Pra´veˇ dveˇ trimina jsou stejna´.
J: Vsˇechna cˇtyrˇi trimina jsou jina´.
Podle toho mu˚zˇeme dostat 15 rovnostı´: F = F, F = G, F = H, F = I, F = J, G = G,. . . Tyto rovnosti generujı´ ale jen sˇest mozˇny´ch rovnic: 4x = 4y, 4x = 3x+ y, 4x = x+ 3y,4x = 2x+ 2y,3x+y = x+ 3y,3x+y = 2x+ 2y. Jejich rˇesˇenı´ ponecha´me jako otevrˇeny´ proble´m.
A
LGEBRA SE DVEˇ MA TETRAMINYU tetramin se zameˇrˇı´me pouze na algebru se dveˇma tetraminy, a to pouze kvu˚li demonstraci, nebot’ pra´ce s vı´ce tetraminy je uzˇ pomeˇrneˇ rozsa´hla´. Mohou tedy nastat dveˇ situace:
A: Dveˇ tetramina jsou stejna´.
B: Kazˇde´ ze dvou tetramin je jine´.
Podle toho mu˚zˇeme dostat trˇi teoreticke´ mozˇnosti rovnostı´:A = A, A = B, B = B.
RovnostA = Aprˇedstavuje rˇesˇenı´ rovnice 2x= 2y. Tato rovnice ma´ vsˇechna rˇesˇenı´
zna´zorneˇna´ na obra´zku (viz [1]):
Rovnost A= B vede na rˇesˇenı´ dvou rovnic, a to bud’2x = x+ y, nebo2z = x+ y.
Prvnı´ rovnice rˇesˇenı´ nema´, druha´ rovnice ma´ rˇesˇenı´ zna´zorneˇna´ na obra´zku (viz [1]):
RovnostB = Bvede na rˇesˇenı´ dvou rovnic, a to bud’x+y = u+v, nebox+y = x+z.
Prvnı´ rovnice rˇesˇenı´ nema´, druha´ rovnice ma´ rˇesˇenı´ zna´zorneˇna´ na obra´zku (viz [1]):
140 J. Zhouf: Hrava´ algebra s polyminy
J. Zhouf: Hrava´ algebra s polyminy 141
Z
A´VEˇRCˇla´nek na´s seznamuje s netradicˇnı´ algebrou a s platnostı´, cˇi spı´sˇe neplatnostı´ pravidel, na ktera´ jsme zvyklı´ prˇi pocˇı´ta´nı´ s cˇı´sly. (V literaturˇe se algebra pracujı´cı´ s tetraminy nazy´va´ tetris algebra [1].) Ma´ se tı´m akcentovat promy´sˇlenı´ pra´ce s matematicky´mi objekty a nikoli jen pouhe´ prˇebı´ra´nı´ poznatku˚ z prˇedchozı´ho studia matematiky. U´ vahy zde provedene´ je mozˇne´ jesˇteˇ zveˇtsˇovat do sˇı´rˇky i do hloubky. Naprˇ. je mozˇne´ uvazˇovat operaci odebı´ra´nı´ polymin, je mozˇne´ pracovat s dalsˇı´mi typy polymin.
Cˇla´nek je vhodny´m na´meˇtem pra´ce v matematicky´ch krouzˇcı´ch. Velice vhodny´ je pro pra´ci s talentovaneˇjsˇı´mi zˇa´ky v matematice.
Prˇı´speˇvek vznikl za podpory grantu GAUK 4309/2009/A-PP/PedF.
LITERATURA
[1] Chou Chun-Yen, D, Lin Yu-Chuan, N., Tetris Algebra. Journal of Recreational Mathematics,Volume 33 (2004–2005), 3, s. 182–192.
[2] Zhouf, J., Polymina. In Dva dny s didaktikou matematiky 2002, PedF UK a JCˇMF Praha 2002, s. 75–80.
142