PETREISENMANN, JIRˇ I´PRˇ IBYL, LENKASOUCˇKOVA´1
Poucˇuje sˇe´fkucharˇ kuchtı´ka:
„. . . no a pak vezmesˇ dveˇ trˇetiny vody a dveˇ trˇetiny mle´ka a da´sˇ to do hrnce.“
„No, ale, pane mistr,“ prˇerusˇı´ ho kuchtı´k, „to budu mı´t cˇtyrˇi trˇetiny“.
„Hrome, no to ma´sˇ pravdu. . . Vı´sˇ co, tak si vezmesˇ veˇtsˇı´ hrnec.“
1PrˇF UJEP, U´ stı´ nad Labem
82 P. Eisenmann, J. Prˇibyl, L. Soucˇkova´: Zkusˇenosti s vy´ukou cˇerstvy´ch absolventu˚ SSˇ
U ´
VODObsahem popisovane´ pracovnı´ dı´lny byla diskuse nad tı´m, co tvorˇı´ z nasˇeho po-hledu nejveˇtsˇı´ nedostatky studentu˚ prvnı´ch rocˇnı´ku˚ vysoky´ch sˇkol prˇi vy´uce matematiky.
V dı´lneˇ, ktere´ se zu´cˇastnilo dvacet sˇest strˇedosˇkolsky´ch ucˇitelu˚, jsme diskutovali postupneˇ o na´sledujı´cı´ch te´matech.
P
ROBLE´ MY S PROSTOREMSetka´va´me se se studenty, kterˇı´ o sobeˇ prohlasˇujı´, zˇe nemajı´ prostorove´ videˇnı´. S ta-kovy´m studentem jsme se setkali pouze jednou. Prˇedpokla´dejme, zˇe ma´me krychli ABCDEF GH (znacˇeno podle klasicky´ch u´mluv) zakreslenou ve volne´m rovnobeˇzˇ-ne´m promı´ta´nı´. Da´le jsou da´ny body P, Q, ktere´ jsou po rˇadeˇ strˇedy stran AE a DH. U´ kolem je urcˇit odchylku rovin ABCD a P QF. Leckdy nastane situace, zˇe student si vhodneˇ umı´stı´ krychli do pocˇa´tku soustavy sourˇadnic, jednotlivy´m bodu˚m prˇirˇadı´ sou-rˇadnice a da´le u´lohu rˇesˇı´ analyticky. Jedna´ se vsˇak opravdu o nedostatek prostorove´
prˇedstavivosti?
P
ROBLE´ MY S PRˇI´MKOUV ra´mci ru˚zny´ch prˇedmeˇtu˚, jako jsou u´vodnı´ kurzy do jednotlivy´ch partiı´ matematiky, jsme se setkali se zajı´mavou skutecˇnostı´. Studenti na prˇı´mku nahlı´zˇejı´ z neˇkolika ru˚zny´ch u´hlu˚ pohledu, prˇicˇemzˇ se jim nepropojuje tento pojem v jeden celek.
Analyticka´ geometrie. V analyticke´ geometrii doka´zˇı´ vyja´drˇit prˇı´mku jak v paramet-ricke´m za´pisu
p : x = a1 +tu1
y = a2 +tu2,kde t∈ R,
tak i v obecne´m
p : ax+by +c = 0.
Tradicˇnı´m proble´mem ovsˇem je, zˇe se snazˇı´ proka´zat existenci obecne´ho za´pisu prˇı´mky ve trojrozmeˇrne´m prostoru. Dokonce majı´ snahu tvrdit, zˇe body, ktere´ zı´skajı´ z obecne´ho tvaru dosazenı´m konkre´tnı´ch hodnot, jsou body prˇı´mky, a snazˇı´ se to nakreslit.
Planimetrie. V planimetrii vnı´majı´ prˇı´mku jako „u´secˇku“ cˇi „cˇa´ru“ (prosteˇ neˇjaky´m modelem).
Stereometrie. Ve stereometrii vnı´majı´ prˇı´mku jako hranu neˇjake´ho objektu, ale pro-ble´mem je graficke´ zna´zorneˇnı´ v rovineˇ, kdy poznatky si propojujı´ neza´visle na dimensi.
P. Eisenmann, J. Prˇibyl, L. Soucˇkova´: Zkusˇenosti s vy´ukou cˇerstvy´ch absolventu˚ SSˇ 83 Velice cˇasto se setka´va´me se situacı´, zˇe se na´s student snazˇı´ prˇesveˇdcˇit o existenci mi-mobeˇzˇny´ch prˇı´mek v rovineˇ.
Funkce. Prˇi probı´ra´nı´ partie funkcı´ se zˇa´ci seznamujı´ s prˇı´mkou jakozˇto grafem vyja-drˇujı´cı´m linea´rnı´ funkci. V prvnı´m rocˇnı´ku se vsˇak setka´va´me se studenty, kterˇı´ nedoka´zˇı´
nakreslit graf te´to funkce:
y = 2
3x− 7 5.
O teˇchto cˇtyrˇech pohledech se zminˇujeme proto, zˇe studenti nedoka´zˇı´ jednotlive´
pohledy na prˇı´mku integrovat do organicke´ho celku. Setka´va´me se s tı´m, zˇe pokud v analyticke´ geometrii pozˇa´da´me studenty o urcˇenı´ vza´jemne´ polohy prˇı´mekpaq, kde
p: 2x+ 5y −4 = 0 ∧ q : y = 2
3x− 7 5,
nezrˇı´dka se stane, zˇe obdrzˇı´me odpoveˇd’typu „to nejde“, nebo od bystrˇejsˇı´ch emociona´lneˇ zabarvenou odpoveˇd’„to od va´s nenı´ hezke´, to mı´chat dohromady.“
Z osobnı´ zkusˇenosti vı´me, zˇe jsou ucˇitele´, kterˇı´ propojujı´ vsˇechny partie matematiky do organicke´ho celku, ale take´ zna´me ucˇitele, kterˇı´ ucˇı´ funkce a nevidı´, procˇ by meˇli zˇa´ku˚m prˇipomenout analytickou geometrii.
F
UNKCˇ NI´ MYSˇLENI´ STUDENTU˚Co se termı´nem funkcˇnı´ mysˇlenı´ vlastneˇ rozumı´? Termı´n zacˇal pouzˇı´vat na prˇelomu 19. a 20. stoletı´ neˇmecky´ matematik Felix Klein (1849–1925), ktery´ byl v Evropeˇ vu˚dcˇı´
osobnostı´ hnutı´ za reformu matematicke´ho vzdeˇla´va´nı´. Klein za osu vesˇkere´ho vyucˇova´nı´
matematiky prohla´sil pra´veˇ funkcˇnı´ mysˇlenı´.
Funkcˇnı´ mysˇlenı´ jedince se zacˇı´na´ vyvı´jet daleko drˇı´ve, nezˇ je pojem funkce na druhe´m stupni za´kladnı´ sˇkoly definova´n. Jizˇ od prˇedsˇkolnı´ho veˇku se deˇti v beˇzˇne´m zˇivoteˇ setka´vajı´ s prˇı´cˇinnostı´ jevu˚, ru˚zny´mi za´vislostmi a peˇstujı´ si tak smysl pro kauzalitu. Na prvnı´m stupni za´kladnı´ sˇkoly pracujı´ s ru˚zny´mi tabulkami za´vislostı´, prˇipravujı´ se na sourˇadny´ syste´m a kreslı´ ru˚zne´ grafy a diagramy. I kdyzˇ se v te´to tzv. motivacˇnı´ (cˇi propedeuticke´) fa´zi o funkci jesˇteˇ vu˚bec nehovorˇı´, ma´ na vznik a posilova´nı´ funkcˇnı´ho mysˇlenı´ rozhodny´ vliv.
Vy´uka na za´kladnı´ a strˇednı´ sˇkole ma´ zˇa´ky a studenty ve´st k tomu, aby rozpoznali urcˇite´ typy zmeˇn a za´vislostı´, ktere´ jsou projevem beˇzˇny´ch jevu˚ rea´lne´ho sveˇta, a sezna´mili se s jejich reprezentacemi. Tyto za´vislosti majı´ zˇa´ci analyzovat z tabulek, diagramu˚
a grafu˚, v jednoduchy´ch prˇı´padech je konstruovat a vyjadrˇovat matematicky´m prˇedpisem.
Zkouma´nı´ teˇchto za´vislostı´ smeˇrˇuje k pochopenı´ pojmu funkce.
Typicky´m prˇı´kladem ilustrujı´cı´m nedostatecˇneˇ rozvinute´ funkcˇnı´ mysˇlenı´ je naprˇı´klad fakt, zˇe naprosta´ veˇtsˇina cˇerstvy´ch studentu˚ prvnı´ho rocˇnı´ku vysoke´ sˇkoly nezvla´dne
84 P. Eisenmann, J. Prˇibyl, L. Soucˇkova´: Zkusˇenosti s vy´ukou cˇerstvy´ch absolventu˚ SSˇ uspokojiveˇ vyrˇesˇit na´sledujı´cı´ sadu rovnic a nerovnic s nezna´mou x ∈ R.
x = 2x (1)
Proble´mem zde veˇtsˇinou nenı´ neschopnost studentu˚ nakreslit grafy prˇı´slusˇny´ch ele-menta´rnı´ch funkcı´. Tı´m je spı´sˇe fakt, zˇe mozˇnost rˇesˇit uvedene´ u´lohy graficky jim neprˇijde vu˚bec na mysl. Prˇı´tomnı´ ucˇitele´ prˇiznali, zˇe schopnost pouzˇı´t takovy´ postup se ve vy´uce matematiky na strˇednı´ sˇkole veˇtsˇinou skutecˇneˇ nerozvı´jı´, zˇe podobne´ u´lohy se svy´mi studenty nerˇesˇı´.
Z
LOMKYDosta´va´me se k problematice, ktera´ by meˇla sta´t spı´sˇe na zacˇa´tku cele´ho prˇı´speˇvku.
Stejneˇ jako kazˇdy´ rok rˇesˇı´me sta´le stejne´ proble´my. Otevrˇeneˇ prˇizna´va´me, zˇe k dane´
problematice prˇistupujeme s emociona´lneˇ zabarveny´m vztahem.
Velky´m a pro na´s prˇekvapivy´m proble´mem na vysoke´ sˇkole jsou zlomky. Mohlo by se zda´t, zˇe zde pı´sˇeme o zˇa´cı´ch druhe´ho stupneˇ za´kladnı´ sˇkoly, ale bohuzˇel tomu tak nenı´. Studenti se zlomku˚ „bojı´“. Neˇktere´ u´lohy v pohodeˇ vyrˇesˇı´, ale pouze v prˇı´padeˇ, zˇe jsou koeficienty rovnic objektu˚ (prˇı´mka) cela´ cˇı´sla. Pokud je v zada´nı´ u´lohy z analyticke´
geometrie sourˇadnice bodu zadana´ ve zlomku, studentu˚m se to nelı´bı´ a ptajı´ se, procˇ zada´va´me tak osˇkliva´ cˇı´sla. Uvedeme zde neˇkolik prˇı´kladu˚.
Studenti zameˇnˇujı´ operace scˇı´ta´nı´ a na´sobenı´ zlomku˚. Neprˇemy´sˇlı´ nad zlomky jako nad neˇjakou cˇa´stı´ z celku, ale jen aplikujı´ nazpameˇt’ naucˇeny´ vzorec. Neˇkdy se bohuzˇel netrefı´ a mı´sto na´sobenı´ scˇı´tajı´ a naopak. V tomto prˇı´padeˇ je scˇı´ta´nı´ zlomku˚ epistemolo-gickou prˇeka´zˇkou, kterou se nepodarˇilo azˇ do vstupu na vysokou sˇkolu odstranit.
Neda´vno jsme se naprˇı´klad dozveˇdeˇli, zˇe 12 · 12 = 1, nebo 12 + 12 = 24 . Ve druhe´m prˇı´padeˇ si studenti ani neuveˇdomı´, zˇe by mohli kra´tit. Tedy zˇe se 12 = 24.
Dalsˇı´m prˇı´kladem je jizˇ zmı´neˇna´ analyticka´ geometrie. V zada´nı´ je bod A11
17, 138 . Studenti se nejprve zhrozı´, co je to za cˇı´sla (zˇe by meˇli veˇdeˇt, zˇe jsou to cˇı´sla raciona´lnı´, pomineme), pote´ se pustı´ do pra´ce a ve skupineˇ o dvaceti studentech vyjde nejme´neˇ peˇt ru˚zny´ch vy´sledku˚. Nenı´ to proto, zˇe by neveˇdeˇli, jak u´lohu vyrˇesˇit, ale deˇlajı´ pocˇetnı´
chyby. V tuto chvı´li je trˇeba vzı´t v potaz tlak spolecˇnosti, ktera´ pokud jedinec porozumı´
dane´ problematice, nevidı´ potrˇebu v opakova´nı´ dane´ho postupu a prˇenecha´ ho vy´pocˇetnı´m stroju˚m.
P. Eisenmann, J. Prˇibyl, L. Soucˇkova´: Zkusˇenosti s vy´ukou cˇerstvy´ch absolventu˚ SSˇ 85 Opeˇt zu˚staneme u geometrie, tentokra´t v u´loze vyjde obecna´ rovnice prˇı´mky, ktera´ je osou soumeˇrnosti. Nejprve bychom chteˇli upozornit na to, zˇe veˇtsˇina studentu˚ umı´ odvodit zobrazovacı´ rovnice pro osovou soumeˇrnost, a ti, kterˇı´ to neumı´, se veˇtsˇinou vzorecˇek naucˇı´. Studenti pocˇı´tajı´ se zlomky a dostanou se azˇ ke zmı´neˇne´ ose soumeˇrnosti, kterou
„stacˇı´“ dosadit do zobrazovacı´ch rovnic. Osa jim vyjde v tomto tvaru: 2113x−1413y+2813 = 0.
Ano, je to spra´vny´ vy´sledek, ale nebylo by lepsˇı´ pro doplneˇnı´ do zobrazovacı´ch rovnic obecnou rovnici osy upravit? Studenti si vsˇak neuveˇdomı´, zˇe koeficienty majı´
stejny´ jmenovatel 13 a cˇitatel je vzˇdy deˇlitelny´ 7. Nejprve tvrdı´, jak se jim pocˇı´ta´nı´ se zlomky nelı´bı´, a pote´ s nimi pocˇı´tajı´ da´l, i kdyzˇ nemusı´.
Kde je tedy proble´m? Je zde neˇkolik mozˇnostı´ a dle nasˇeho na´zoru je na kazˇde´
alesponˇ trochu pravdy. Na vysoke´ sˇkole si mu˚zˇeme rˇı´ci, co s teˇmi studenty na strˇednı´
sˇkole deˇlali, zˇe neumı´ vyna´sobit nebo secˇı´st dva zlomky, to snad pocˇı´tali jen s cely´mi cˇı´sly? Strˇedosˇkolsˇtı´ ucˇitele´ se budou rozcˇilovat, zˇe jim studenti na strˇednı´ sˇkolu prˇisˇli s te´meˇrˇ nulovy´mi znalostmi a majı´ hodneˇ la´tky, kterou s nimi musı´ probrat, a tı´m pa´dem nemajı´ cˇas opakovat zlomky. Urcˇiteˇ bude proble´m jizˇ na za´kladnı´ sˇkole. Jedna´ se o to, zˇe my pa´tra´me po vinı´kovi, ktery´ mu˚zˇe za to, zˇe zˇa´k/student neumı´ pra´ci se zlomky.
Kazˇdy´ z na´s si mozˇna´ rˇı´ka´: „Ma´m snad ja´ odstranˇovat to, co uzˇ meˇl umeˇt a neumı´?“
Pokud ale neˇkdo v tomto procesu neodstranı´ dane´ nedostatky, nelze se potom divit, co vsˇe zˇa´k zna´ i nezna´. Teoreticky je zˇa´k schopen pracovat s ru˚zny´mi te´maty, avsˇak kdyzˇ se prˇejde k prakticky´m prˇı´kladu˚m, koncˇı´ zˇa´ci na numeracˇnı´ch dovednostech. Leckdy je vy´uka realizova´na tı´m zpu˚sobem, zˇe kdyzˇ se probı´rajı´ zlomky, tak se probı´rajı´ zlomky, ale kdyzˇ se probı´ra´ neˇco jine´ho, trˇeba nasˇe zna´ma´ analyticka´ geometrie, tak tam radsˇi zlomky da´vat nebudeme, studenti by zbytecˇneˇ deˇlali pocˇetnı´ chyby a meˇli by zbytecˇneˇ horsˇı´ zna´mky.
Studenti se na zlomky dı´vajı´ jako na „osˇkliva´“ cˇı´sla a vu˚bec si je nespojı´ s realitou.
Radsˇi na prˇı´klady pouzˇijı´ kalkulacˇku a zaokrouhlujı´ na neˇkolik desetinny´ch mı´st, pote´ jim naru˚sta´ chyba, ale jim je to u´plneˇ jedno, hlavnı´ je, zˇe uzˇ tam nemajı´ ty zlomky. Studenti sami sobeˇ neveˇrˇı´, ve smyslu, zˇe neudeˇlajı´ chybu, ale kalkulacˇka ji prˇece udeˇlat nemu˚zˇe.
Nelze prˇesneˇ rˇı´ci, kde je chyba. Na prˇedstava´ch se prˇeci jen podı´lı´ neˇkolik ru˚zny´ch faktoru˚. Poprve´ se s problematikou zlomku˚ jakozˇto nehezky´ch cˇı´sel setkali nasˇi prˇed-chu˚dci – ti, kterˇı´ zazˇili vstup vy´pocˇetnı´ techniky do sˇkoly. Kalkula´tor umeˇl deˇlit a zlomek je „naznacˇene´ deˇlenı´ “, tak procˇ toho nevyuzˇı´t. To, co se ucˇitelu˚m zda´lo jako zcela zrˇejme´
13
7 ·7 = 13, se v kalkula´torech promeˇnilo na 1,85714285·7 = 12,99999995, cozˇ se da´
zaokrouhlit na 13a zˇa´ci nedoka´zali pochopit, procˇ se ucˇitel hneˇva´, kdyzˇ jim to nakonec vysˇlo spra´vneˇ. V dnesˇnı´ dobeˇ se s teˇmito proble´my nepoty´ka´me, protozˇe kalkula´tory, ale i kapesnı´ pocˇı´tacˇe (a setkali jsme se jizˇ i s mobilnı´mi telefony), doka´zˇı´ pracovat se zlomky. A elektronika se nemy´lı´.
V tuto chvı´li nevı´me, co za tı´m je, mozˇna´ deˇti jen ma´lo kra´jejı´ kola´cˇe. . .
86 H. Fialova´, P. Harcubova´: Videoza´znam procesu rˇesˇenı´ u´loh z „Pavucˇin“