MARIE NECˇASOVA´1
U ´
VODBeˇhem sve´ho studia rˇesˇı´me velkou rˇadu ru˚zny´ch u´loh. Existuje vsˇak mnoho zajı´ma-vy´ch te´mat, s nimizˇ se setka´me azˇ prˇi studiu na vysoke´ sˇkole nebo se s nimi nesetka´me vu˚bec. Je pochopitelne´, zˇe ne kazˇdy´ student strˇednı´ sˇkoly je matematicky zalozˇeny´, ale neˇkterˇı´ by se matematice ra´di veˇnovali vı´ce nezˇ jen v beˇzˇny´ch hodina´ch. K tomu slouzˇı´
pra´veˇ matematicky´ semina´rˇ.
K napsa´nı´ me´ diplomove´ pra´ce mne inspiroval matematicky´ semina´rˇ na gymna´ziu, kde jsem absolvovala svou ucˇitelskou praxi. Ucˇitelka se zde okrajoveˇ veˇnovala historii matematiky a seznamovala studenty s novy´mi te´maty – naprˇ. zlaty´ rˇez, Hippokratovy meˇsı´cˇky a jine´. Vzhledem k tomu, zˇe ja´ jsem se s teˇmito te´maty setkala azˇ prˇi studiu na vysoke´ sˇkole, rozhodla jsem se ve sve´ pra´ci popsat neˇktera´ me´neˇ beˇzˇna´ matematicka´
te´mata.
Soucˇa´stı´ diplomove´ pra´ce jsou pracovnı´ listy, ktere´ majı´ ucˇitelu˚m slouzˇit jako ucˇebnı´
materia´l. Obsahujı´ neˇkolik u´loh, ktere´ jsou okomentovane´ a vyrˇesˇene´. Dva pracovnı´ listy –Hippokratovy pu˚lmeˇsı´cˇkyaTangrambyly pouzˇity s ucˇiteli, kterˇı´ se u´cˇastnili popisovane´
pracovnı´ dı´lny.
O
BSAH DI´LNYUcˇitele´ byli nejprve sezna´meni s vy´sledky dotaznı´ku, ve ktere´m byla zjisˇt’ova´na na´plnˇ matematicky´ch semina´rˇu˚ na strˇednı´ch sˇkola´ch. Na´sledneˇ se dozveˇdeˇli za´kladnı´ informace o Hippokratovy´ch pu˚lmeˇsı´cˇka´ch a o tangramu. Pote´ dostali dva pracovnı´ listy, ktere´ meˇli vypracovat, zhodnotit a okomentovat. Dı´lny se zu´cˇastnilo 18 ucˇitelu˚ z ru˚zny´ch typu˚ sˇkol.
D
OTAZNI´KV ra´mci sve´ diplomove´ pra´ce jsem se rozhodla zjistit na´plnˇ matematicky´ch semina´rˇu˚
na strˇednı´ch sˇkola´ch. Zajı´malo mne, jaky´m te´matu˚m se zde veˇnujı´. Vytvorˇila jsem dotaz-nı´k, ktery´ se skla´da´ z 10 ota´zek, a rozeslala ho prostrˇednictvı´m e-mailu na 216 sˇkol v cele´
republice. Kontakty na sˇkoly jsem zı´skala prostrˇednictvı´m internetu. Vy´sledny´ vzorek tvorˇı´ 72 strˇednı´ch sˇkol z ru˚zny´ch cˇa´stı´ Cˇeske´ republiky, typy jsou uvedeny na obra´zku 1.
66 z nich poskytuje svy´m studentu˚m matematicky´ semina´rˇ. V dotaznı´ku jsem zjisˇt’ovala jednak de´lku semina´rˇu˚ a pro ktere´ rocˇnı´ky jsou semina´rˇe prˇipravova´ny (vy´sledky jsou uvedeny na obra´zcı´ch 2 a 3), a jednak na´plnˇ matematicky´ch semina´rˇu˚.
1studentka PedF UK Praha, m.neca@post.cz
130 M. Necˇasova´: Na´meˇty na matematicke´ semina´rˇe na strˇednı´ch sˇkola´ch
Obr. 1
Obr. 2
Obr. 3
M. Necˇasova´: Na´meˇty na matematicke´ semina´rˇe na strˇednı´ch sˇkola´ch 131
Obr. 4
Zjistila jsem, zˇe 99 % ucˇitelu˚ se v ra´mci semina´rˇu˚ veˇnuje maturitnı´m te´matu˚m, prohlu-bujı´ probı´ranou la´tku a za´rovenˇ seznamujı´ studenty s novy´mi te´maty. Zby´vajı´cı´ procento sˇkol se veˇnuje pouze neˇktere´ z nabı´zeny´ch mozˇnostı´. Naprˇı´klad neprocvicˇujı´ maturitnı´
te´mata, protozˇe k tomu slouzˇı´ prˇedmeˇt nazvany´ Cvicˇenı´ z matematiky, ale prohlubujı´
probı´ranou la´tku a probı´rajı´ nova´ te´mata. Jine´ naopak maturitnı´ te´mata procvicˇujı´, ale ne-veˇnujı´ se novy´m te´matu˚m. Hippokratovy´mi pu˚lmeˇsı´cˇky se v semina´rˇı´ch zaby´va´ zhruba 26 % ucˇitelu˚ a zlate´mu rˇezu se veˇnuje prˇiblizˇneˇ 36 % dota´zany´ch ucˇitelu˚. Z hlediska me´ diplomove´ pra´ce mne nejvı´ce zajı´malo, jaka´ nova´ matematicka´ te´mata jsou v ra´mci semina´rˇu˚ probı´ra´na. Jejich seznam je uveden v tabulce.
diferencia´lnı´ a integra´lnı´ pocˇet, pru˚beˇh funkce, limity funkcı´ a posloupnostı´
matice a determinanty
Cramerovo pravidlo Gaussova eliminacˇnı´ metoda
homotetie (stejnolehlost) shodna´ zobrazenı´ v prostoru nekonecˇna´ geometricka´ rˇada Apolloniovy u´lohy
reciproke´ rovnice iraciona´lnı´ a goniometricke´ nerovnice rˇesˇenı´ za´bavny´ch matematicky´ch
pro-ble´mu˚, hlavolamy
funkce cyklometricke´, hyperbolicke´
a hyperbolometricke´
Hippokratovy meˇsı´cˇky algebraicke´ rovnice vysˇsˇı´ch stupnˇu˚
kruhova´ inverze fyz. u´lohy vyuzˇitı´m derivacı´ a integra´lu˚
konstrukcˇnı´ u´loh pomocı´ Cabri AG v prostoru a ve vysˇsˇı´ch dimenzı´ch teorie grafu˚, teorie mnozˇin algebraicke´ struktury – grupy
financˇnı´ a pojistna´ matematika transformace sourˇadnicove´ soustavy
zlaty´ rˇez kvadraticke´ rovnice v oboru C
Hornerovo sche´ma historie matematiky
Cardanovy vzorce – kubicke´ rovnice du˚kazove´ metody
pravdeˇpodobnost a statistika slozˇiteˇjsˇı´ kombinatoricke´ u´lohy
132 M. Necˇasova´: Na´meˇty na matematicke´ semina´rˇe na strˇednı´ch sˇkola´ch
H
IPPOKRATOVY PU˚ LMEˇSI´CˇKYJedna´ se o pu˚lmeˇsı´cˇky – rovinne´ u´tvary omezene´ dveˇma kruhovy´mi oblouky, ktere´
majı´ stejny´ obsah jako neˇjaky´ mnohou´helnı´k (veˇtsˇinou se jedna´ o troju´helnı´k nebo li-chobeˇzˇnı´k). Lze tedy prˇesneˇ vyja´drˇit jejich obsah. Autorem pu˚lmeˇsı´cˇku˚ je Hippokrates z Chiu, rˇecky´ matematik, filosof a le´karˇ. Podle neˇj se take´ meˇsı´cˇky nazy´vajı´. Hippokra-tovy pu˚lmeˇsı´cˇky se take´ oznacˇujı´ jako HippokraHippokra-tovy meˇsı´cˇky cˇi HippokraHippokra-tovy menisky.
Jedna´ se du˚kazove´ u´lohy. Nejzna´meˇjsˇı´mi Hippokratovy´mi meˇsı´cˇky jsou meˇsı´cˇky, jejichzˇ soucˇet obsahu˚ je stejny´ jako obsah pravou´hle´ho troju´helnı´ka – obvod meˇsı´cˇku˚ je tvorˇen pu˚lkruzˇnicemi, jejichzˇ pru˚meˇry odpovı´dajı´ strana´m pravou´hle´ho troju´helnı´ka ABC.
P
RACOVNI´ LIST– H
IPPOKRATOVY MEˇ SI´CˇKY1. Je da´n pravou´hly´ troju´helnı´k ABC. Dokazˇte, zˇe obsah pu˚lmeˇsı´cˇku˚ sestrojeny´ch nad odveˇsnami tohoto pravou´hle´ho troju´helnı´ka ABC (vysˇrafovana´ oblast na obr. 5) se rovna´ obsahu pravou´hle´ho troju´helnı´ka ABC. Tyto pu˚lmeˇsı´cˇky se nazy´vajı´ Hippo-kratovy pu˚lmeˇsı´cˇky, neˇkdy se setka´va´me i s oznacˇenı´m HippoHippo-kratovy meˇsı´cˇky nebo menisky.
Obr. 5
2. Sestrojte Hippokratovy pu˚lmeˇsı´cˇky nad stranami pravou´hle´ho troju´helnı´ka ABC. De´lky odveˇsen troju´helnı´ka jsou |AC| = 8 cm, |BC| = 6 cm. Vypocˇı´tejte obsah teˇchto pu˚lmeˇsı´cˇku˚.
3. Necht’ lichobeˇzˇnı´k ABCD tvorˇı´ polovinu pravidelne´ho sˇestiu´helnı´ka o straneˇ 6 cm.
Nad jeho stranami sestrojı´me pu˚lkruzˇnice. Vypocˇı´tejte obsah vybarveny´ch Hippokra-tovy´ch meˇsı´cˇku˚ na obra´zku 6.
4. Pokuste se zjistit, kdy se bude obsah trˇı´ meˇsı´cˇku˚, ktery´ jste vypocˇı´tali v u´loze 3, rovnat obsahu lichobeˇzˇnı´kaABCD.
M. Necˇasova´: Na´meˇty na matematicke´ semina´rˇe na strˇednı´ch sˇkola´ch 133
Obr. 6
P
RACOVNI´ LIST– T
ANGRAMTangram je stara´ cˇı´nska´ skla´dacˇka, ktera´ se jizˇ cela´ staletı´ teˇsˇı´ nehasnoucı´ populariteˇ.
Hra´cˇe vsˇech veˇkovy´ch skupin fascinuje skutecˇnost, zˇe ze sedmi dı´lku˚ skla´dacˇky lze slozˇit opravdu velke´ mnozˇstvı´ rozmanity´ch u´tvaru˚. Jedna´ se o geometricke´ obrazce, prˇedmeˇty, zvı´rˇata a lidske´ postavy v charakteristicky´ch postavenı´ch. Pro sestavenı´ kazˇde´ho obra´zku je vzˇdy nutno pouzˇı´t vsˇech sedmi dı´lu˚.
Tangram lze vyuzˇı´t k dokazova´nı´ Pythagorovy veˇty pro rovnoramenny´ troju´helnı´k.
Mu˚zˇeme zkoumat obsahy jednotlivy´ch dı´lu˚ tangramu, zjisˇt’ovat de´lky stran dı´lu˚. Pomocı´
neˇj mu˚zˇeme prˇetva´rˇet jeden geometricky´ u´tvar na jiny´ o stejne´m obsahu.
Tangram je mozˇno take´ pouzˇı´t jako motivacˇnı´ prvek ve cvicˇenı´ch matematiky. Mu˚-zˇeme zadat studentu˚m sadu u´loh k samostatne´ pra´ci a pokud je neˇkdo hotov, mu˚zˇe si vzı´t hlavolam, aby nevyrusˇoval ostatnı´. Zbytek studentu˚ mu˚zˇe v klidu pokracˇovat v rˇesˇenı´.
Obr. 7
134 M. Necˇasova´: Na´meˇty na matematicke´ semina´rˇe na strˇednı´ch sˇkola´ch 1. Sezna´mili jste se s tangramem, vı´te, jak vypada´. Nary´sujte tento cˇtvercovy´ tangram se
vsˇemi jeho dı´lky, pokud vı´te, zˇe:
• odveˇsna velke´ho troju´helnı´ku ma´ prˇesneˇ stejnou de´lku jako prˇepona strˇednı´ho troju´helnı´ku,
• odveˇsna strˇednı´ho troju´helnı´ku ma´ stejnou de´lku jako prˇepona male´ho troj-u´helnı´ku a jedna ze stran rovnobeˇzˇnı´ku,
• odveˇsna male´ho troju´helnı´ku ma´ stejnou de´lku jako strana cˇtverce a druha´ strana rovnobeˇzˇnı´ku. Stranu cˇtverce zvolte o libovolne´ velikosti a tak, abyste mohli s obra´zkem da´le pracovat. Da´le zjisteˇte de´lky stran jednotlivy´ch dı´lu˚ tangramu (maly´ troju´helnı´k, strˇednı´ troju´helnı´k, velky´ troju´helnı´k, cˇtverec, rovnobeˇzˇnı´k), kdyzˇ velky´ cˇtverec ma´ stranu o de´lcea.
2. Vypocˇı´tejte obsahy jednotlivy´ch dı´lu˚ skla´dacˇky. Co o nich mu˚zˇete rˇı´ci? Majı´ neˇktere´
u´tvary stejne´ obsahy? Je neˇktery´ obsah na´sobkem jine´ho obsahu?
3. Majı´ neˇktere´ u´tvary skla´dacˇky stejny´ obvod? Pokud ano, uved’te ktere´.
4. Vystrˇihneˇte si sestrojeny´ tangram a nejdrˇı´ve jej sestavte zpeˇt do cˇtverce. Pote´ sestavte troju´helnı´k a zakreslit si jej na papı´r. Nezapomı´nejte, zˇe vzˇdy musı´te pouzˇı´t vsˇech sedm dı´lu˚ tangramu.
5. Vytvorˇte ze vsˇech dı´lku˚ tangramu postupneˇ obde´lnı´k s jednou stranou dvakra´t delsˇı´ nezˇ druhou a lichobeˇzˇnı´k s dolnı´ stranou trˇikra´t delsˇı´ nezˇ hornı´. Zakreslete je. Porovnejte obsahy teˇchto u´tvaru˚. Jake´ budou?
6. Slozˇte neˇktere´ z konvexnı´ch u´tvaru˚ podle prˇedlohy (obr. 8). Cˇtverec, troju´helnı´k, obde´lnı´k a lichobeˇzˇnı´k jste uzˇ skla´dali v prˇedchozı´ch u´kolech. Existujı´ neˇjake´ za´vislosti mezi stranami neˇktery´ch u´tvaru˚?
Z
A´VEˇRPotvrdilo se mi, zˇe o netradicˇnı´ te´mata pro matematicke´ semina´rˇe majı´ ucˇitele´ za´jem a zˇe zejme´na pracovnı´ listy doplneˇne´ komenta´rˇem o te´matu jsou pro neˇ vhodne´. V pru˚beˇhu dı´lny ucˇitele´ rˇesˇili mnou zadane´ u´lohy a poskytli mi rˇadu cenny´ch doporucˇenı´, ktera´ jsem do vy´sledny´ch pracovnı´ch listu˚ zapracovala. Doporucˇenı´ se ty´kala zejme´na formulace u´loh, aby byly pro studenty srozumitelne´. Pracovnı´ dı´lna byla prˇı´nosem nejen pro moji diplomovou pra´ci, ale snad i pro ucˇitele. Doveˇdeˇli se nove´ informace, protozˇe veˇtsˇina z nich naprˇı´klad neslysˇela o Hippokratovy´ch pu˚lmeˇsı´cˇka´ch.
Konecˇna´ verze pracovnı´ch listu˚ je vystavena na webovsky´ch stra´nka´ch SUMA JCˇMF (www.suma.jcmf.cz, sekce Metody pra´ce).
J. Zhouf: Hrava´ algebra s polyminy 135
Obr. 8 LITERATURA
[1] DUDENEY, H. E. Matematicke´ hlavolamy a hrˇı´cˇky. Praha: Olympia, 1995.
[2] KOLMAN, A. Deˇjiny matematiky ve staroveˇku.Praha: Academia, 1969.
[3] KONFOROVICˇ, A. G. Vy´znamne´ matematicke´ u´lohy. Praha: SPN, 1989.
[4] OPAVA, Z.Matematika kolem na´s. Praha: Albatros, 1989.
[5] VEJMOLA, S. Hlavolamy.Praha: Grada Publishing, 2007.
[6] Tangram – cˇı´nska´ skla´dacˇka. Mozkolam, 2007, cˇ. 16, s. 13–16.